Методика изучения числовых систем (84381)

Посмотреть архив целиком

2



Министерство образования Республики Беларусь
Могилевский государственный университет им. А.А. Кулешова

Кафедра методики преподавания математики








Реферат на тему:

МЕТОДИКА ИЗУЧЕНИЯ ЧИСЛОВЫХ СИСТЕМ




Выполнил: Плетнев М.Э.,

студент группы “Е”

физико-математического

факультета,

Научный руководитель:

доцент Л.А. Латотин






Могилев 2002

Содержание


Основные идея темы „Обыкновенные дроби". 3

Введение понятия дроби. Преобразования дробей. 4

Действия над дробями 9

Умножение дроби на целое число 11

Деление дроби на целое число 13

Умножение на дробь 15

Деление на дробь 23

Литература 26



Основные идея темы „Обыкновенные дроби".


1) введение дробных чисел новый этап расширения числовой области;

2) новое понятие числа требует введения нового определения понятия равенства чисел, суммы и произведения;

3) введение дробных чисел снимает ограничения с действия де­ления целых чисел (кроме деления на нуль);

4) дробные числа подчиняются всем законам арифметических дей­ствий, установленным выше для чисел натуральных.

Изучение дробных чисел в школьном курсе разбивается на два этапа: на первом рассматриваются понятие дроби, сложение и вычи­тание, а также умножение и деление на натуральное число; на вто­ром умножение и деление на дробь. На первом этапе определения действий над дробями мало отличаются от определений соответ­ствующих действий над целыми числами; первое расширение понятия об арифметическом действии дается на примере умножения на дробь.

Многие вопросы, входящие в первый этап, хотя и не в полном объеме, изучаются в начальной школе. В V классе средней школы прорабатывается систематический курс дробей, включающий вопросы обоих этапов изучения.

Основные вопросы систематического курса дробей в средней школе:

1) образование дробей;

2) преобразования дробей;

3) действия над дробями.


Введение понятия дроби. Преобразования дробей


Хотя в курсе начальной школы учащиеся получили представление о простейших дробях, необходимо эту тему начинать с углубления и закрепления понятия о дроби. При этом следует исходить из рассмотрения конкретных примеров величин. Необходимо учитывать, что исторически дроби возникли в связи с потребностью измерять. В практике измерения простейшими задачами являются определение отрезка, площади прямоугольника и объема прямоугольного параллелепипеда. Для этих задач сначала нужны натуральные числа, дробные числа (а потом и иррациональные числа). Поэтому для иллюстрации различных вопросов школьного курса дробей лучше всего пользоваться долями линейной единицы, квадратичной единицы и кубической единицы.

Делая соответствующий рисунок в тетрадях, учащиеся могут сами находить доли линейного дециметра, квадратного дециметра, чертить раз­вертки кубического дециметра и его долей и дома склеивать соответствую­щие модели. Наглядные пособия при изучении дробей.


Рис. 2.


Р
ис.1.

Рис. 3. Рис. 4





В результате такой работы у учащихся создается отчетливое представление о дроби как совокупности равных долей единицы, и сами учащиеся составляют соот­ветствующее определение. Мно­гие учебники сразу же рассматри­вают второй способ получения дроби при делении целого числа на равные части. На ряде кон­кретных примеров показывают, что при делении меньшего числа на большее получается в частном одна или несколько долей единицы, т.е., согласно ранее веденному определению, рассуждения ведутся Рис. 5. так.

Ч
тобы разделить веревку дли­ной в 3 м на 4 равные части, можно мысленно

Рис. 6.

представить каждый метр веревки разделенным на 4 равные части, тогда веревка будет содержать 12 четвертей метра, разделив 12 четвертей метра на 4 равные части, получим в каждой метра. Это рассуждение иллюстрируется рисунком 6.

Рассматривается второй способ рассуждений: чтобы делить 3 яблока (или 3 листа бумаги) 4 детям, можно каждое яблоко разделить на 4 равные части и каждому дать по одной четверти. Каждый ребенок получит яблока.

Основная мысль приведенных рассуждений та, что доли единицы можно взять за новые счетные единицы и с полученными числами производить действия так же, как, с целыми именованными числами. Но почему же начинать с деления? Деление определяется как дей­ствие, обратное умножению. Удовлетворяет ли рассмотренное деление этому определению? 3 : 4 = ; ·4 будет ли равно 3? Все это требует обоснования. Без этого учащиеся не будут связывать этот случай деления с определением деления.

После того как введено понятие дроби, необходимо ввести по­нятия равенства и неравенства дробей. В теоретических курсах эти понятия вводятся путем определений. В школьном курсе необходимо показать предварительно целесообразность вводимых определений путем рассмотрения конкретных примеров.

Составляя дроби из долей одной и той же единицы, учащиеся убеждаются, что дроби могут быть меньше единицы, равны единице, больше единицы. Эти наблюдения и следует положить в основу определений и классификации дробей на неправильные и правиль­ные. Формальный же признак, указывающий на соотношение между числителем и знаменателем у правильных и неправильных дробей, следует установить, как следствие определения. Обращение сме­шанного числа в равную ему неправильную дробь и исключение целого числа из неправильной дроби следует начать с рассмотрения конкретных примеров. При составлении отрезков из долей линейной единицы, возникает вопрос: сколько целых линейных единиц содер­жится в данном отрезке? При составлении прямоугольников из долей квадратной единицы возникает вопрос: сколько квадратных единиц можно составить из данного прямоугольника? Решение этих вопро­сов приводит к исключению целого числа из неправильной дроби.

Не следует спешить с выводом формального правила для этих, преобразований, следует заставлять учащихся проводить соответ­ствующие рассуждения, основанные на составе единицы из долей этой единицы. Например, при обращении смешанного числа 2 в неправильную дробь ведутся следующие рассуждения: в единице 3 третьих доли, в двух единицах 3·2 третьих долей, всего (3·2+2).


Отсюда

В методической литературе поднимался вопрос о включении в школьный курс обращения смешанного числа в неправильную дробь и обратного преобразования после изучения деления дроби на целое число и деления дробей с одинаковыми знаменателями, так как при первом преобразовании производится умножение дроби на целое число и сложение дробей, при втором — деление дробей с одинаковыми знаменателями. Но принятое обычно расположение материала имеет преимущество: возможно рассматривать действия над всеми видами дробей и смешанными числами одновременно, причем эти преобразования не нарушают системы изучения действий, связаны с конкретными представлениями дробей и сводятся к дей­ствиям над целыми числами.

При рассмотрении различных долей единицы и дробей естественно поставить вопрос о сравнении их по величине, также кладется сравнение величин, измеряемых данными дробями. Для иллюстрации сравнительной величины долей единицы полезно на вы­бранной линейной единице от одного из ее концов отложить отрезки, соответствующие долям единицы (рис.7).

Рис.7

Для вывода формальных признаков сравнения дробей можно рекомендовать проводить работу по следующему плану: 1) сравнение долей единицы, 2) сравнение дробей с одинаковыми знаменателями, с одинаковыми числителями (не устанавливая, во сколько раз одна дробь больше другой), основное свойство дроби. Вывод основного свойства следует построить на том положении, что дроби, измеряющие одну и ту же величину при одной и той же единице измерения, равны. Таким образом, основное свойство получится как следствие определения равенства дробей, что соответствует научному построению изучения дробей. Следует при этом воспользоваться следующим наглядным пособием в виде таблицы:

Рис.8

Для вывода основного свойства дроби в ряде учебников и ме­тодик предлагается предварительно изучить изменение величины дроби с увеличением (или уменьшением) числителя или знаменателя в несколько раз, причем устанавливается, во сколько раз увеличи­вается или уменьшается при этом дробь. Выводится правило увели­чения и уменьшения дроби в несколько раз, т. е. умножения и деления дроби на целое число. После этого рассматривается одно­временно увеличение (или уменьшение) членов дробей в одно и то же число раз и устанавливается основное свойство дроби.

Рассмотрение увеличения или уменьшения дроби в несколько раз следует увязывать с прохождением умножения и деления дроби на целое число, так как эти задачи тождественны. Если же этот вопрос рассматривать до действий, то необходимо показать, что, увеличивая дробь в несколько раз, мы ее умножаем на целое число, уменьшая делим на целое число, но тогда нарушится систематичность изложе­ния. Очень часто эта связь не подчеркивается, и учащиеся не осознают тождественность задач — увеличить дробь в несколько раз и умножить дробь на целое число, и не решаются применять правила увеличения и уменьшения дроби при умножении и делении дроби на целое число. Такое изучение увеличения и уменьшения дроби в несколько раз приносит вред учащимся, создавая путаницу в их умах.

После этого следует перейти к преобразованиям дробей: к со­кращению дробей, затем к приведению дробей к общему знамена­телю, связав это преобразование с задачей сравнения дробей с раз­ными числителями и знаменателями.

Для сознательного усвоения преобразования дробей следует привести чертеж. Например, сокращение дроби можно показать следующим образом:

Рис.9

При этом ведутся следующие рассуждения: возьмем отрезок, составляющий линейной единицы; 8 восьмых долей единицы можно сгруппировать по 2 восьмых, тогда число долей, на которые разделена единица, уменьшится в 2 раза (8:2=4), 6 восьмых долей то же единицы тоже можно сгруппировать по 2 восьмых, тогда тело долей в данном отрезке тоже уменьшится в 2 раза (6:2=3);

отрезок, составленный из 6 восьмых линейной единицы, можно рассматривать составленным из 3 четвертей той же единицы.


Действия над дробями


Сложение и вычитание дробей

Изучение темы следует начать со сложения дробей с одинаковыми знаменателями и на конкретных примерах подчеркнуть, что сложение дробей состоит в подсчете одинаковых долей, содержащихся в данных дробях вместе, т. е. определение сложения дробей мало отличается от определения сложения чисел.

При сложении дробей с одинаковыми знаменателями следует составить систему упражнений, охватывающую все возможные случаи сложения: 1) целого с дробью; 2) целого со смешанным числом; 3) двух правильных дробей: а) дающих, в сумме правильную дробь, б) дающих в сумме целое число, в) дающих в сумме неправильную дробь; 4) смешанного числа с дробью, причем сумма дробей - правильная дробь; 5) то же, только сумма дробей целое число;

6) то же, только сумма дробей — неправильная дробь; 7), 8), 9) те же случаи для суммы смешанных чисел. При сложении дробей с раз­ными знаменателями в основу системы упражнений берутся различ­ные случаи отыскания общего знаменателя. Следует вначале брать простые случаи отыскания общего знаменателя, которые не отвлекали бы от основной задачи — сложения дробей. На основании рассмотрения различных примеров следует добиться, чтобы учащиеся установили справедливость законов сложения для дробных чисел. Например:

Рассуждения, приведенные на частных примерах, имеют общий характер, а именно: сложение дробей с одинаковыми знаменателями сводится к сложению числителей, т. е. целых чисел; так как для целых чисел справедливы законы сложения, следовательно, они спра­ведливы и для дробных чисел.

Вычитание дробей определяется, так же как и для целых чисел, как действие, обратное сложению.

Некоторые авторы предлагают проходить вычитание параллельно с сложением. Такой порядок имеет свои пре­имущества; этим самым все время подчеркивается связь вычитания с сложением как действия, обратного сложению. Большинство же учебников и задачников сначала рассматривают сложение дробей, потом вычитание, после этого — совместно сложение и вычитание, считая, что последний порядок изучения сосредоточивает внимание учащихся на одной трудности.

При вычитании дробей система упражнений имеет еще большее значение, чем при сложении, так как при вычитания иногда прихо­дится уменьшаемое преобразовывать, что затрудняет учащихся. Посте­пенно усложняя упражнения, можно подготовить учащихся к усвое­нию трудных случаев вычитания. Рассмотрим различные случаи, которые могут быть положены в основу системы упражнений на вычитание дробей с одинаковыми знаменателями, а именно: 1) из дроби вычесть дробь; 2) из смешанного числа дробь, которая меньше дроби смешанного числа; 3) из единицы дробь; 4) из це­лого числа, большего единицы, дробь; 5) из числа, равного еди­нице с дробью, вычесть дробь, которая больше дроби в уменьшае­мом; 6) из смешанного числа смешанное, причем дробь вычитае­мого меньше дроби уменьшаемого; 7) из целого смешанное число; 8) из смешанного смешанное число дробь которого больше дроби уменьшаемом. Примерная запись при сложении и вычитании дробей.

Не следует спешить переходить к записи общего знаменателя |вод одной чертой; учащиеся часто не осознают, что производится рамена данных дробей им равными дробями с общим знаменателем.


Умножение дроби на целое число


Следующим действием изучается умножение дроби на целое число. Умножение дроби на целое число определяется так же, как умножение целых чисел.

При изучении умножения дроби на целое число необходимо установить с учащимися определение действия умножения дроби на целое число как сложения равных слагаемых, из которых каждое равно множимому; показать тождественность умножения дроби на целое увеличению дроби в несколько раз, дать определение умно­жения дроби на 1; показать рациональный прием сокращения дроби, числитель которой представляет произведение, с которым учащиеся встречаются впервые при умножении дроби на целое; научить применять это действие к задачам; рассмотреть частные случаи умножения, например, умножение дроби на число, равное знаменателю; умножение смешанного числа на целое число. Приведенный перечень задач, стоящих при изучении умножения дроби на целое число, показывает, что каждый вопрос, кажущийся простым, требует тщательного изучения и как много возникает дополнительных задач в связи с данным вопросом.

Приведем пример плана урока на эту тему,

1) Проверка домашнего задания.

2) Устные упражнения на сложение и вычитание дробей.

3) Устные примеры на деление произведения на число:

4) Сокращение дробей:

5) Повторение определения умножения на целое число:

6) Определение умножения дроби на целое число:

7) Решение задач в одно действие на умножение дроби на целое »»

число. Например: 1 м3 сосновых дров весит т. Найти вес 2 м3 этих

дров (в тоннах), 7 м3.

8) Сформулировать правило умножения дроби на целое число:

чтобы умножить дробь на целое число, достаточно числитель дроби умножить на это число, оставив прежний знаменатель.

9) Решение примеров на умножение дроби на целое число:

10) Составить задачи, при решении которых требовалось бы умножить.

11) Домашнее задание.

Приведенные в этом плане устные упражнения на деление про­изведения на число и сокращение дробей имеют цель подготовить учащихся к обоснованию сокращения дробей, в числителе которых стоит произведение. Учащиеся вспоминают, как разделить произве­дение на число и при сокращении дробей ведут следующие рассуждения: чтобы сократить дробь, надо числитель и знаменатель разделить на одно и то же число; в числителе стоит произведение; чтобы произведение разделить на число, достаточно один из мно­жителей разделить на это число. Поэтому при сокращении дроби делим 10 и 25 на 5.

На следующем уроке следует предложить учащимся на несколь­ких примерах умножения дроби на целое число сравнить множимое и произведение по величине. Установить, что для дробей, как и для целых чисел, увеличить дробь в несколько раз значит умножить ее на целое число. На основании рассмотрения примеров вида

делается вывод об изменении величины дроби с увеличением чис­лителя или уменьшением знаменателя в данное число раз и дается частный прием умножения дроби на целое число, годный для слу­чая, когда знаменатель дроби делится на данное целое число:

При изучении умножения смешанного числа на целое вначале рассматриваются два способа. Например:

Последние рассуждения показывают справедливость распредели­тельного закона умножения относительно суммы, когда одно из слагаемых дробь. Рассматривается пример вида

и делается вывод, что при умножении смешанного числа на целое в большинстве случаев проще отдельно умножить целое и дробь на целое число.

Деление дроби на целое число


После умножения дроби на целое число следует перейти к делению целого числа и дроби на целое число, так как нахождение дроби числа, предшествующее умножению на дробь, требует деле­ния на знаменатель. На это указывается в большей части методической литературы. Определение действия деления дается как действия, обратного умножению.

Рассмотрим пример: 4 : 5.

Сначала проводятся рассуждения: чтобы разделить 4 на 5, представим мысленно каждую единицу разделенной на пять равных частей, тогда 4 единицы будут содержать 20 пятых частей, разделив 20 пятых частей на 5 получим , что проверяется:

Мы нашли дробь, которая, будучи умноженной на 5, даст 4. Следовательно, деление произведено верно. Запишем:

Вывод. От деления целого числа на целое получается дробь, числитель которой равен делимому, а знаменатель — делителю. Об­ратно: всякую дробь можно считать за частное от деления ее чис­лителя на знаменатель.

Например, равно частному от деления 3 на 7, так как ·7=3.

Изучение деления дроби на целое число начинается с рассмотре­ния примера умножения дроби на целое число, для которого соста­вляется обратная задача. Например:

обратная задача:

требуется найти такую дробь, которая, будучи умножена на 4, даст в произведении . Такая дробь будет , запишем:

В результате рассмотрения ряда подобных примеров учащиеся приходят к выводу, что при делении дроби на целое число доста­точно числитель разделить на целое число, оставив прежний знаме­натель. После этого ставится вопрос, как поступать в том случае, когда числитель данной дроби не делится на целое число. Рассматривается второй прием умножения: , отсюда .

Получается второй способ деления. Применив этот способ к преды­дущему примеру, убеждаются, что второй способ общий, годится для любых случаев деления дроби на целое число (не равное 0). Действительно,

Правило формулируется так: чтобы разделить дробь на целое число, достаточно знаменатель дроби умножить на это число, оста­вив числитель прежним.

При делении дроби на целое учащиеся встречаются с новым слу­чаем сокращения дробей, поэтому предварительно рассматривается сокращение дроби вида: .

В связи с изучением деления дроби на целое, ряд авторов учебников предлагает рассмотреть деление дробей с одинаковыми знаменателями. К этому случаю деления можно прийти из рассмотре­ния следующего примера на умножение:

Чтобы найти множитель, достаточно, . Получается деление по содержанию; 4 показывает, что , содержатся в четыре раза. Приходим к выводу, что при делении дробей с одина­ковыми знаменателями достаточно числитель первой дроби разде­лить на числитель второй.

При изучении деления смешанного числа на целое тоже следует разобрать с учащимися два способа выполнения действия, при пер­вом способе смешанное число обращается в неправильную дробь и производится деление дроби на целое число, при втором применяется распределительный закон деления относительно суммы и делится отдельно целая и дробная часть смешанного числа (предварительна устанавливается справедливость применяемого закона деления). На­пример.

в дальнейшем промежуточные записи пропускаются).

В результате рассмотрения примеров учащиеся отмечают те слу­чаи, в которых рациональнее применять второй способ деления. Подчеркивается удобство 2-го способа при устных вычислениях.

На этом кончается первая часть изучения действий над дробями, которая тесно примыкает к теме о целых числах, так как определения действий, рассмотренных в этой части, мало отличаются от определений соответствующих действий над целыми числами.

Умножение на дробь


Вторая часть начинается с изучения действия умножения на дробь и представляет новый этап в изучении действий над дробями. Смысл действия умножения на дробь резко отличается от умножения на целое число. Учащиеся привыкли до сих пор понимать под умножением сложение равных слагаемых, произведение считать больше множимого (смысл умножения на единицу им кажется мало отли­чающимся от обычного понимания умножения). Для умножения на дробь все эти представления не подходят. Поэтому определение умножения на дробь нелегко воспринимается учащимися. Необходимо показать учащимся целесообразность введения нового определения для умножения на дробь и конкретный смысл этого определения. В связи с этим методическая и учебная литература предлагает различные подходы к введению определения умножения на дробь или к выводу правила умножения на дробь, которое в большинстве слу­чаев заменяет определение.

В учебной и методической литературе XVIII века и первой поло­вины XIX века существовал следующий подход к выводу правила умножения на дробь.

Рассуждения велись так: чтобы умножить 5 на , умножим 5 сначала на 3, получим произведение 15, которое больше истинного, так как множитель увеличен в 4 раза; чтобы получить истинное произведение, надо полученное произведение 15 уменьшить в 4 раза, будем иметь

Такой подход неправилен с точки зрения логического построе­ния математики, так как свойства произведения целых чисел рас­пространялись на произведение в случае дробного множителя, хотя еще не установлено, что значит „умножить число на дробь" и можно ли распространить эти свойства на новое произведение. Кроме того, этот подход страдает формализмом' из этих рассуждений не сле­дует, к каким задачам возможно применение действия умножения на дробь.

Существует еще и такой подход:

(по переместительному закону умножения) =

Отсюда выводится правило. Ошибка этого рассуждения в том, что распространяется переместительный закон на действие, которое еще не определено и не доказано, что оно обладает переместительным законом. Рассуждение было бы правильно, если бы оно построено было так: произведение целого числа на дробь должно быть составлено так, чтобы порядок сомножителей не имел значе­ния, т. е. для действия умножения на дробь оставался бы справед­ливым переместительный закон. Была попытка дать общее опреде­ление действия умножения, пригодное и для целого и для дробного множителя. Это определение было дано в следующей формулировке:

умножить одно число на другое значит из множимого составить новое число так, как множитель составлен из единицы. Смысл рас­суждений при этом был следующий.

При умножении на целое число имеем:

При умножении 5 на , так как множитель

т. е. единица разделена на 4 и полученное частное взято слагаемым 3 раза, должны получить:

Это определение было в ходу в ряде учебников дореволюционной школы. Основной недостаток этого определения формальный характер его образования. Из определения неясно, к каким конкретным задачам можно применить умножение на дробь. Нельзя подвести учащихся к составлению этого определения из рассмотрения конкретных задач. Вторым недостатком является математическая неточность. Из определения неясен способ составления множителя из единицы; число может быть составлено из единицы различными способами, как целое, так и дробное. Число может быть составлено так:

Если при умножении 5 на произведение из множимого составить так же, как составлено из единицы, то получим

т.е. совсем другой ответ, чем раньше. Кроме того, общее определение умножения затушевывает необходимость нового определения при умножении на дробь.

Перед введением определения действия умножения на дробь рассматривается решение задачи на нахождение части числа. В программе и в стабильном учебнике эта задача носит название: „нахождения дроби числа". Замена слова „части” словом „дроби" вызвана, очевидно, расширением рассматриваемой задачи; в стабильном учебнике рассматриваются и такие задачи, например: „найти числа ”, (т.е. требуется найти число долей от числа большее, чем во всем числе). Система упражнений должна быть составлена так, чтобы первые задачи и примеры помогли учащимся повторить сведения, полученные из начальной школы, т. е. числа должны быть подобраны так, чтобы само число и искомая доля числа были це­лым числом.

Первая группа упражнений.

Пример. Найти от 60.

Решение. от 60 составляет 60 : 5 = 12.

от 60 составляют 12 · 4 = 48.

Вторая группа упражнений: нахождение части от целого числа,

когда искомая доля дробь.

Пример. Найти от 11.

Решение.

В дальнейшем записи следует сокращать.

Пример. Найти от 10.

Третья группа упражнений: нахождение части от дроби.

Пример. Найти от .

Решение. .

или

Следует подчеркнуть на соответствующих конкретных задачах, что найти часть от дроби значит определить, какую часть от це­лого составляет часть от части этого целого.

Пример. всей земли, принадлежащей колхозу, отведено под хлебные культуры; земли, занятой хлебными культурами, засеяно рожью. Какая часть земли, принадлежащей колхозу, засеяна рожью?