Математический анализ (тан3)

Посмотреть архив целиком

§ 3. Производная и ее применение


Производная характеризует скорость изменения функции при изменении ее аргумента. Она является основным инструментом исследования функций в математическом анализе, в частности, используется для отыскания точек экстремума: в этих точках производная либо равна нулю, либо не существует. Через производную определяется понятие эластичности функции, применяемое в экономических приложениях.


1. Определение производной и правила дифференцирования


Пусть функция определена в некоторой окрестности точки . Пусть – приращение аргумента в точке , а – соответствующее приращение функции. Составим отношение этих приращений и рассмотрим его предел при . Если указанный предел существует, то он называется производной функции в точке и обозначается , или , то есть

.

Операция вычисления производной называется дифференцированием, а функция, имеющая производную в точке, – дифференцируемой в этой точке. Если функция имеет производную в каждой точке интервала , то она называется дифференцируемой на этом интервале.


Примеры. Найдем производные функций в произвольной точке :

а) ,

;

б) ,


Заметим, что на практике при вычислении производных редко прибегают к определению. Вместо этого используют таблицу, содержащую выражения для производных всех основных элементарных функций, а также правила дифференцирования, позволяющие находить производную суммы, разности, произведения, частного и композиции функций.

Приведем таблицу производных некоторых основных элементарных функций и правила дифференцирования.

Таблица производных


1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) ,

где , и - произвольные постоянные, , .


Примеры. Получим некоторые следствия формулы 2:


а) ,

б) ;

в) .


Правила дифференцирования


  1. ;

  2. , где - постоянная;

  3. ;

  4. ;

  1. если , а , то производная сложной функции находится по формуле

,

где индексы указывают, по какому аргументу производится дифференцирование.


Примеры. Найдем производные функций, используя правила 1-4:


а) ;

б) ;

в)