Математический анализ (тан6)

Посмотреть архив целиком

§ 6. Функции нескольких переменных


Функции нескольких переменных возникают при необходимости учета зависимости некоторой величины более чем от одного фактора. Многие понятия: предел, непрерывность, производная и другие, введенные для функций одной переменной, переносятся на случай функций нескольких переменных.

Мы ограничимся здесь рассмотрением функций двух переменных. Для функций большего числа переменных указанные понятия вводятся аналогично.


1. Определения


Пусть каждой точке некоторого множества плоскости поставлено в соответствие число , тогда говорят, что на множестве задана функция двух переменных . Используется также запись .


Пример. В экономических приложениях встречаются производственные функции, устанавливающие связь между затратами производственных ресурсов и объемом выпускаемой продукции. Производственные функции, как правило, зависят от многих переменных (факторов). В частности, рассматриваются двухфакторные функции

,

где - объем производственных фондов, - затраты труда, - объем выпускаемой продукции. Примером двухфакторной функции является функция Кобба-Дугласа

,

где , , - постоянные.


Окрестностью точки назовем внутренность любого круга с центром в этой точке. Пусть функция определена в некоторой окрестности точки . Зафиксируем значение и рассмотрим функцию одной переменной . Производная функции в точке (если она существует) называется частной производной функции в точке по переменной и обозначается . Аналогично определяется частная производная по переменной .

Производные и функции называются частными производными первого порядка. Если они существуют в некоторой окрестности точки , то частные производные от них по и называются частными производными второго порядка и обозначаются , , , , где, например, , . Производные , называются смешанными частными производными.

Аналогично можно ввести частные производные третьего и более высоких порядков. Из определения частных производных следует, что для их нахождения можно использовать все правила, справедливые для производных функций одной переменной.


Примеры. Найдем частные производные первого и второго порядков функций:

а) , тогда

, ,