Математический анализ (тан1)

Посмотреть архив целиком

§ 1. Числовые функции


Понятие функции является одним из основных в математике. С его помощью выражают зависимости между различными переменными величинами. Изучение свойств функций, основанное на методе пределов, составляет содержание математического анализа.


  1. Определение

Пусть - некоторое числовое множество, и пусть каждому элементу поставлено в соответствие число . Тогда говорят, что на множестве определена числовая функция. Функцию обозначают некоторым символом, например , и пишут

. (1)

Множество называется областью определения функции , - ее аргументом, а - значением функции в точке . Используются также обозначения: для области определения и для множества значений функции.

Графиком функции называется множество всех точек координатной плоскости вида , где . График дает наглядное представление о поведении функции, однако более удобным в теоретических исследованиях является аналитический способ задания функций с помощью формул. На практике используют также табличный способ, когда значения функции указываются для отдельных значений аргумента.

В качестве области определения функции могут выступать различные числовые множества, например:

а) отрезок ;

б) интервал ;

в) полуинтервалы или ;

г) бесконечные полуинтервалы или ;

д) множество всех действительных чисел R =.

Под областью определения функции, заданной формулой, понимают обычно множество всех значений аргумента, для которых эта формула имеет смысл.

Примеры. 1) Для функции область определения и множество значений


имеют вид: , ; график функции представлен на рис. 1.



Рис. 1.

2) Для функции имеем , ; график функции изображен на рис. 2.





Рис. 2.


3) Для функции имеем: ,

; ее график приведен на рис. 3.




Рис. 3.



  1. Основные элементарные функций


Напомним определения и свойства некоторых элементарных функций, известные из школьного курса математики. В каждом случае укажем аналитическое выражение и область определения функции, приведем ее график.


а) Линейная функция:

R,

где и – некоторые постоянные (числа); график – прямая с угловым коэффициен-

том (, где – угол наклона прямой к оси ):







Рис.4.



б
) Квадратичная функция:

R,



Рис. 5.


где , , - постоянные коэффициенты; график – парабола, ее расположение существенно зависит от величины

,

называемой дискриминантом функции, и от знака первого коэффициента :


в) Обратно пропорциональная зависимость:


,

где - постоянная. График – гипербола:



Рис. 6.


г) Степенная функция:

,

где и - постоянные; область определения существенно зависит от . В п. в) рассмотрен случай