Математический анализ (тан2)

Посмотреть архив целиком

§ 2. Предел и непрерывность функции


Пределом функции в точке называется число, к которому приближаются значения функции при приближении аргумента к этой точке. Строгое определение предела дается сначала для функций частного вида – последовательностей, а затем переносится на функции общего вида. На основе понятия предела определяются важнейшие понятия математического анализа – производная и интеграл.


  1. Предел последовательности


Последовательностью называется функция, определенная на множестве натуральных чисел N = . Значения этой функции , N, называются элементами или членами последовательности, число называется номером элемента . Для последовательностей используется обозначение или более наглядная запись . Задать последовательность можно с помощью формулы, связывающей и .

Приведем примеры последовательностей, указав их различные представления:

а) , или , или ;

б) , или , или ;

в) , или , или .

Заметим, что элементы этих последовательностей ведут себя по-разному с увеличением номера : в первом случае убывают, приближаясь к нулю; во втором случае неограниченно возрастают; в третьем случае не приближаются ни к какому определенному числу, принимая поочередно значения и . Для описания поведения элементов последовательности при неограниченном увеличении n вводится понятие предела.

Число а называется пределом последовательности , если для любого положительного числа существует такой номер , что для всех выполняется неравенство (то есть отличается от менее, чем на ).

Если предел существует, то говорят, что последовательность сходится, и пишут (читается: “предел равен ”) или при (“ стремится к при , стремящемся к бесконечности”). В противном случае говорят, что последовательность расходится.

Примеры. а) Последовательность сходится, ее предел равен нулю: . Это непосредственно следует из определения предела, поскольку при любом неравенство выполняется для всех , и в качестве можно взять любое натуральное число, большее .

б) Аналогично доказывается более общее утверждение:

при любом .


Например, , и т. д.


  1. Правила вычисления пределов последовательностей


При вычислении пределов последовательностей используются следующие правила:

I. Если последовательности и сходятся, то сходятся их сумма, разность и произведение, причем:

1) ,

2) ,

  1. 3)