Математический анализ (тан4)

Посмотреть архив целиком

§ 4. Неопределенный интеграл


К понятию неопределенного интеграла приводит задача о нахождении функции по ее производной. Эта задача решается с помощью операции интегрирования, обратной по отношению к операции дифференцирования.


1. Определение интеграла и правила интегрирования


Пусть для всех , принадлежащих интервалу , выполнено равенство

,

тогда функция называется первообразной функции на .

Заметим, что первообразная функции определяется не однозначно: вместе с первообразными являются функции вида , где – произвольная постоянная. Справедливо утверждение: любая первообразная функции представима в виде при некотором значении .

Совокупность всех первообразных функции называется ее неопределенным интегралом и обозначается символом :

;

при этом называется подынтегральной функцией, а - переменной интегрирования. Операция нахождения интеграла называется интегрированием.

Пример. а) Из равенства заключаем, что функция является первообразной функции . Следовательно, можно записать

.

б) Аналогично, из равенства следует

.


В отличие от производной интеграл элементарной функции может не быть элементарной функцией. Это относится, например, к интегралам от , , . Однако интегралы всех основных элементарных функций выражаются через элементарные функции. Приведем таблицу некоторых из них, получаемую из таблицы производных, и правила, по которым можно находить интегралы других функций.


Таблица интегралов


1) (); 2) ;

3) ; 4) .


Правила интегрирования


  1. ;

  2. , где - постоянная


Отметим, что приведенные правила аналогичны соответствующим правилам дифференцирования.


Примеры. Найдем интегралы, применяя указанные правила и таблицу:

а) ;

б) ;

в) .


2. Замена переменной в неопределенном интеграле


В некоторых случаях нахождение интеграла упрощается при переходе к другой переменной интегрирования. При этом если исходная и новая переменные и связаны соотношением , где - обратимая дифференцируемая функция, то для интегралов справедливо равенство

,

в правой части которого после вычисления интеграла следует сделать обратную замену