Математический анализ (тан5)

Посмотреть архив целиком

§ 5. Определенный интеграл


Определенный интеграл функции равен пределу интегральных сумм, сопоставляемых ей по некоторым правилам. Для непрерывной неотрицательной функции определенный интеграл равен площади фигуры, заключенной между графиком функции и осью . При вычислении определенного интеграла от непрерывной на отрезке функции используется формула Ньютона-Лейбница, выражающая определенный интеграл через первообразную функции.


1. Определение


Пусть функция определена на отрезке . Разобьем отрезок на частей точками () такими, что . Длины полученных отрезков обозначим (), и пусть – наибольшая из этих длин. Выберем на каждом из отрезков разбиения произвольную точку и составим сумму

, (1)

которую назовем интегральной суммой для функции .

Рассмотрим интегральные суммы, соответствующие разбиениям отрезка при различных значениях . Если существует предел таких сумм при , то он называется определенным интегралом функции на отрезке и обозначается

,

при этом функция называется интегрируемой (по Риману) на отрезке , числа и называются соответственно нижним и верхним пределами интегрирования.

Заметим, что всякая непрерывная на отрезке функция интегрируема на этом отрезке.


Пример. Функция непрерывна на отрезке и, следовательно, интегрируема на нем. Чтобы вычислить интеграл , достаточно рассмотреть любую последовательность разбиений отрезка , для которой , и найти предел соответствующей последовательности интегральных сумм. При этом промежуточные точки для каждого разбиения можно выбирать произвольно. Рассмотрим равномерные разбиения вида , , а в качестве выберем правые концы отрезков , то есть положим , . В этом случае имеем , , и интегральная сумма (1) принимает вид

.

Переходя к пределу при , получаем

.

2. Геометрический смысл


Пусть функция непрерывна на отрезке и неотрицательна: . Фигуру, ограниченную графиком функции , вертикальными прямыми