Математический анализ (MATAN)

Посмотреть архив целиком

1.Счетные и несчетные множества. Счетность множества рациональных чисел.

Множество - совокупность некоторых объектов

Элементы множества - объекты составляющие множество

Числовые множества - множества элементами которых являются числа.

Задать множество значит указать все его элементы:

1 Способ: А={а: Р(а)} эти записи Читать- множество тех а таких что...

A={а-Р(а)} равноценны

Р(а) - предикат = высказывание об элементе, бывает ложно или истинно по отношению к кокретному элементу. Множество А состоит из тех а для которых предикат истина.

2 Способ: Конструирование из других множеств:

AЪB = {c: cОA Ъ cОB}, AЩB = {c: cОA Щ cОB}, A\ B = {c: cОA Щ сПB}

U - универсальное множество (фиксированное)

UіA; U \ A = A’ = cA (A’ - дополнение множества A)

Свойства:

1. AЪ(BЪC)=(AЪB) ЪC - ассоциативность; AЪB=BЪA - коммутативность; AЪЖ=A; AЪU=U

2. AЪ (BЩC)=(AЪB) Щ(AЪC) & AЩ (BЪC)=(AЩB) Ъ(AЩC) - дистрибутивность; АЩЖ

A” =A - закон исключающий третьего (AЪB)’=A’ЩB’; (AЩB)’=A’ЪB’; AЩA’= Ж

Иллюстрация свойств: Диаграммы Эйлера-Венна.

"=>" cО(AЪB)’ => cПAЪB => cПA & cПB => cО A’ & cОB’ => cОA’ЩB’

"<=" cОA’ЩB’ => cОA’ & cОB’ => cПA & cПB => cПAЪB => cО(AЪB)’

Отображение множеств:

f:A®B (на множестве А задано отображение f со значением множества B)

aОA; bОB => b - образ элемента а при отображении f; a - прообраз элемента b при отображении f

Так как для каждого элемента из А ставится в соответствие элемент из В, значит А - область определения (Dom f=А), а область значенийB (Im f ЈB)

Для отображения задают: 1) способ 2) Dom 3) Im

Отображение f инъективно если f(x)=f(x’) => x=x’(разные переходят в разные)

Отображение f сурьективно если Im f =B(каждый переходит в каждый)

Если же отображение инъективно+сурьективно, то множества равномощны(содержат одинаковое кол-во элементов), а отображение биективно - взаимооднозначно.

Счетные множества - множества равномощные множеству натуральных чисел (N)

Теорема: Множество Q счетно.

Докозательство: Q=

Лемма 1: " nОN Z/n - счетно.

Каждому элементу из N надо взаимноднозначно сопоставить элемент Z/n:

10®0/n 5®-2/n

2®+1/n 6®+3/n

3®-1/n 7®-3/n

4®+2/n ...

Лемма 2: Объединение счетного или конечного(не более чем счетного) числа счетных множеств - счетно.

А1={а11, а12, а13,...}

А2={а21, а22, а23,...}

А3={а31, а32, а33,...}

...

Применяем диагональную нумерацию (а11 - 1; а21 - 2; а12 - 3; а31 - 4; а22 - 5...) и таким образом взаимнооднозначно сопоставляем каждому элементу из таблицы его номер, значит объединение счетного или конечного числа счетных множеств - счетно.

Часть может быть равномощна целому: (-1,1) равномощен R (через полуокружность и лучи)

Из Леммы1 и Леммы 2 получаем: Множество рациональных чисел счетно



























2. Определение действительного числа бесконечной десятичной дробью. Плотность Q в R.

Действительные числа - множество чисел вида [a0],а1 a2 а3... где а0ОZ а123,... О{0,1,...,9}

Действительное число представляется в виде суммы целой и дробной части:

о],а1 а2 а3...ак (0) = ао + а1/10 + а2/100 + ... +ак/10k = [ао],а1 а2 а3...а’к (9), где а’кк-1

х=[хо],х1 х2 х3...хк...

у=[уо],у1 у2 у3...ук...

х’к - катое приближение икса с недостатком = [хо],х1 х2 х3...хк

у”к - катое приближение игрека с избытком = [уо],у1 у2 у3...ук + 1/10k

х’к+1 > х’к (х’к - монотонно растет)

у”к+1 Ј у”k (у”k - не возрастает), т.к. у”к=[уо],у1 у2 у3...ук + 1/10к

у”к+1 = [уо],у1 у2 у3...ук ук+1 + 1/10к+1

у”к - у”к+1 = 1/10к - ук+1 + 1/10к+1 і 0

10 - ук+1 - 1 / 10к+1 і 0

9 і ук+1

Определение: 1) х > у <=> $ к: х’к > у”к

2) х = у <=> х’к не> у”к & у”к не> х’к

По определению получаем, что [1],(0)=[0],(9)

Свойства: 1)" х, у либо х<у, либо х>у, либо х=у

2) х>у & у>z => х>z

3) х не> х

Док-во (2): х>у у>z

х’к>у”к у’m>z”m

n=max{k;m}

х’nіх’к>у”кіу”n у’nі у’m>z”mіz”n

у”n>у’n => х’n>z”n

Определение: Если АМR и " х,уОR $ аОА: х<а<у, то А плотно в R

Теорема: Q плотно в R.

Доказательство: х > у х’к > у”к х і х’к у”к і у

х і х’к / 2 + х’к / 2 > х’к / 2 + у”к / 2 > у”к / 2 + у”к / 2 > у

Видим: х > х’к / 2 + у”к / 2 > у, где (х’к / 2 + у”к / 2)ОQ

3.Несчетность множества действительных чисел.

Теорема: R несчетно.

Доказательство от противного:

1«х1=[х1], х11 х12 х13... |

2«х2=[х2], х21 х22 х23... | Пусть здесь нет девяток в периоде

3«х3=[х3], х31 х32 х33... |

... | (*)

к«хк=[хк ], хк1 хк2 хк3... |

... |

Найдем число которого нет в таблице:

с=[с], с1 с2 с3...

[с][х1] => сх1

с1 П {9;х21} => сх2

с2 П {9;х32} => сх3

...

ск П {9;хк+1к} => схк

Таким образом С - число которое отсутствует в таблице (*)

5.Теорема Дедекинда о полноте R

Пусть 1) 0АНR; 2) " aОA, " bОB: аИB=R, тогда $! сОR: " aОA, " bОB: аЈсЈb

Замечания: 1) для Q и I не выполняется (между двумя иррациональными всегда одно рациональное следует из теоремы о плотности Q в R)

2) А называют нижним множеством сечения (нижний класс), В называют верхним множеством сечения (верхний класс)

Доказательство:

" aОA, " bОB: а A ограничено сверху => $ SupA=m => "bОB: bіm => B ограничено снизу =>$ InfB=n, mЈn

Докажем, что m = n:

Пусть m$ сОQ: m cПА & cПВ - невозможно по свойству 3 отсюда и из того, что mЈn

следует, что m=n если обозначим m=n через c, то получим аЈсЈb

Докажем, что с единственное(от противного):

Пусть $с’с,с’>с (с’<с), так как c=n=InfB=m=SupA=>по опр-нию. "с’>с (с’<с) найдется такое b(a), что bc’)-противоречие с "aОA, "bОB: аЈсЈb















8.Лемма о зажатой последовательности (Лемма о двух милиционерах)

Если $n0: "n>n0 xNЈyNЈzN и $ Lim xN=x, $ Lim zN=z, причем x=z, то $ Lim yN=y => x=y=z.

Доказательство: "n>n0 xNЈyNЈzN

Возьмем произвольно Е>0, тогда $ n’: "n>n’ xNО(х-Е,х+Е) & $ n”: "n>n” zNО(х-Е,х+Е) => "n>max{n0,n’,n”} yNО(x-E,x+E)

4. Верхние и нижние грани числовых множеств.

Определение: АМR mОR, m - верхняя (нижняя) грань А, если " аОА аЈm (аіm).

Определение: Множество A ограничено сверху (снизу), если существует такое m, что " аОА, выполняется аЈm (аіm).

Определение: SupA=m, если 1) m - верхняя грань A

2) " m’: m’ m’ не верхняя грань A

InfA = n, если 1) n - нижняя грань A

2) " n’: n’>n => n’ не нижняя грань A

Определение: SupA=m называется число, такое что: 1) " aОA aЈm

2) "e>0 $ aEОA, такое, что aE>a-e

InfA = n называется число, такое что: 1) 1) " aОA aіn

2) "e>0 $ aEОA, такое, что aE<a+e

Теорема: Любое, непустое ограниченное сверху множество АМR, имееет точную верхнюю грань, причем единственную.

Доказательство:

Построим на числовой прямой число m и докажем что это точная верхняя грань А.

[m]=max{[a]:aОA} [[m],[m]+1]ЗA№Ж=>[m]+1 - верхняя грань A

Отрезок [[m],[m]+1] - разбиваем на 10 частей

m1=max[10*{a-[m]:aОA}]

m2=max[100*{a-[m],m1:aОA}]

...

mк=max[10K*{a-[m],m1...mK-1:aОA}]

[[m],m1...mK, [m],m1...mK + 1/10K]ЗA№Ж=>[m],m1...mK + 1/10K - верхняя грань A

Докажем, что m=[m],m1...mK - точная верхняя грань и что она единственная:

"к: [m’K,m”K)ЗA№0; "к "аОА: аK

Единственность(от противного):

аОА, пусть а>m”K => $ к: а’K>m”K => аіа’K>m”K - это противоречит ограниченности => aЈm

Точная верхняя грань:

Пусть l$ к: m’K>l”K, но так как "к [m’K,m”K) ЗA№0 => $ аО[m’K,m”K) => а>l =>l - не верхняя грань.

Теорема: Любое, непустое ограниченное снизу множество АМR, имееет точную нижнюю грань, причем единственную.

Рассмотрим множество B{-а: аОА}, оно ограничено сверху и не пусто => $ -SupB=InfA

6.Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Их свойства.

Определение: Последовательность аN называется бесконечно малой (бм) если ее предел равен нулю ("Е>0 $ n0: n>n0N|<Е)

Теорема: Сумма (разность) бм последовательностей является бм последовательностью.

Доказательство: Пусть Lim aN=Lim bN=0, cN=aN+bN, dN=aN-bN. Так как вне любой эпсилон-окрестности точки 0 (в частности окрестности Е/2) лежит конечное число членов последовательности aN, т.е. $ n’: "n>n’: |aN|<Е/2. Аналогично $ n”: "n>n”: |bN|<Е/2. При n>max{n’,n”} выполнены оба неравен ства |aN|<Е/2 & |bN|<Е/2 => при любом n> max{n’,n”} имеем: |cN|=|aN+bN|Ј|aN|+|bN| |dN|=|aN-bN| Ј |aN|+|bN|

Теорема: Произведение бм и ограниченной последовательности - бм последовательность.

Доказательство: Пусть aN - бм посл-ть, bN - ограниченная посл-ть zN=aN*bN.

Т.к. bN - ограниченная посл-ть, значит $ такое с: |bN|Јс0

Т.к. aN - бм посл-ть, значит вне любой Е-окрестности точки 0 (в частности Е/с)лежит конечное число членов посл-ти aN, т.е. $ n0: "n>n0 |aN|<Е/с.Таким образом "n>n0: |zN|=|aN*bN|=|aN|*|bN|<Е/с * с=Е

Следствие: произведение бм посл-тей - тоже бм посл-ть

Теорема: Пусть aN - бм. Если $ n’: "n>n’ последовательностьть |bN|ЈaN => bN - бм

Доказательство: aN - бм => $ n”: "n>n”: |aN|<Е. Для n>=max{n’,n”} |bN|Ј|aN|<Е

Определение: Последовательность аN называется бесконечно большой (бб) если "Е>0 $ n0: n>n0N|>Е)

Теорема: Если aN - бм, то 1/aN - бб последовательностьть, обратное тоже верно.

Доказательство:

"=>" aN-бм=>вне любой эпсилон-окрестности точки 0 (в частности 1/Е) находится конечное число членов посл-ти, т.е. $n0: "n>n0 |aN|<1/E =>1/|aN|>Е.

"<=" 1/|aN| - бб последовательность => "Е>0 $ n0: "n>n0 1/|aN|>1/Е => |aN|<Е

Теорема: Пусть aN - бб. Если $ n’: "n>n’ последовательность bNі|aN| => bN - бб.

Доказательство: aN - бб => $ n”: "n>n” |aN|>Е. Для n>max{n’,n”} bNі|aN|>Е











7.Арифметика пределов

Предложение: Число а является пределом последовательности aN если разность aN-a является бм (обратное тоже верно)

Докозательство: Т.к. Lim aN=a, то |aN-a|<Е. Пусть aN=aN-a. |aN|=|aN-a|<Е

Обратное: Пусть aN=aN-a, т.к. aN - бм => |aN|ЈЕ. |aN|=|aN-a|<Е

Теорема: Если Lim xN=x, Lim yN=y, то:

  1. $ Lim (xN+yN) и Lim (xN+yN)=х+у

  2. $ Lim (xN*yN) и Lim (xN*yN)=х*у

  3. "n yN0 & y0 => $ Lim (xN/yN) и Lim(xN/yN)=х/у

Доказательство:

Пусть xN=х+aN, aN - бм; yN=у+bN, bN - бм

1) (xN+yN)-(х+у)=aN+bN (По теореме о сумме бм: aN+bN - бм => (xN+yn)-(х+у)-бм, дальше по предложению)

2) xN*yN - х*у = х*aN+у*bN+aN*bN (По теоремам о сумме бм посл-тей и * бм посл-тей на огр. посл-ти получаем: xN*yN - х*у - бм, дальше по предл-нию)

3) xN/yN - х/у = (у*aN-х*bN) / (у*(у+bN))= (у*aN-х*bN) * 1/у * 1/уN доказательство сводится к доказательству утверждения: если уn - сходящаяся не к 0 посл-ть, то 1/уN тоже сходящаяся последовательность: Lim уN=y => по определению предела получаем $ n0: "n>n0 |уn-у|<у/2 (Е=y/2), что равносильно неравенству: у-у/2<уN<у/2+у, откуда получаем: |уN|іуN>у/2.|уN|>у/2=>1/|уN|<2/у => "n: 1/|уN|Јmax{2/у, 1/у1, 1/у2,...1/уno}

Теорема: Если хN сходится к х, yN сходится к у и $ n0: "n>n0 последовательность хNЈуN, то хЈу

Доказательство(от противного): Пусть х>у. Из опр. предела "E>0 (в частности Е<(у-х)/2): $n’: "n>n’ |xN-x|$n”: "n>n” |yN-y|"n>max{n’,n”} все члены посл-ти xN будут лежать в Е-окрестности точки х, а все члены посл-ти уN будут лежать в Е-окрестности точки у, причем

(х-Е,х+Е)З(у-Е,у+Е)=Ж. И т.к мы предположили, что х>у, то "n>max{n’,n”}: хNN - противоречие с условием => хЈу.




















































5. Определение предела последовательности и его единственность.

Определение: Пусть даны два множества Х и У. Если каждому элементу хОХ сопоставлен по определенному правилу некоторый элемент уОУ, то говорят, что на множестве Х определена функция f и пишут f:Х®У или х® (f(х)| хОХ).

Определение: Последовательность-это ф-ция определенная на мн-ве N, со значениями во мн-ве R f:N®R. Значение такой ф-ции в (.) nОN обозначают аN.

Способы задания:

1) Аналитический: Формула общего члена

2) Рекуррентный: (возвратная) формула: Любой член последовательности начиная с некоторого выражаетс через предидущие. При этом способе задани обычно указывают первый член (или нсколько начальных членов) и формулу, позволющкю определить любой член последовательности через предидущие. Пример: а1=а; аN+1N + а

3) Словесный: задание последовательности описанием: Пример: аN = n-ый десятичный знак числа Пи

Определение: Число а называется пределом последовательности аN, если "e>0 $ n0: "n>n0 выполняется неравенство |аN-a|<e. Обозначение Lim aN=a.

Если не существует числа а, являющегося пределом посл-ти, то говорят что последовательность расходится, если существует, то сходится (к числу а).

Геометрически существование предела последовательности означает, что любой интервал вида (а-e,а+e), называемый эпсилон-окрестностью точки а, содержит все члены последовательности аN начиная с некоторого номера, или что то же самое, вне любой эпсилон-окрестности точки а находится ко нечное число членов последовательности аN.

Определение: Число а назывется пределом посл-ти аN если вне всякой окрестности точки а содержится конечное число членов последова тельности.

Теорема: Сходящаяся последовательность имеет только один предел.

Доказательство(от противного):

Пусть последовательность аN имеет предел а и предел с, причем ас. Выберем такой эпсилон, чтобы пересечение эпсилон-окрестностей точек а и с бы ло пусто. Очевидно достаточно взять эпсилон меньше |а-с|/2. Вне окрестности точки а содержится конечное число членов последовательности => в ок рестности точки с содержится конечное число членов последовательности - противоречие с условием того, что с - предел последовательности.

Теорема: Сходящаяся последовательность ограничена.

Доказательство:

Пусть последовательность аN сходится к числу а. Возьмем какое-либо эпсилон, вне эпсилон-окрестности точки а лежит конечное число членов последо вательности, значит всегда можно раздвинуть окрестность так, чтобы все члены последовательности в нее попали, а это и означает что последователь ность ограничена.

Замечания: 1) Обратное не верно (аn=(-1)N, ограничена но не сходится)

2) Если существует предел последовательности аN, то при отбрасывании или добавлении конечного числа членов предел не меняется.

Порядковые свойства пределов:

Теорема о предельном переходе: Если Lim xN=x, Lim yN=y, $n0: "n>n0 хNЈyN, тогда xЈy

Доказательство(от противного):

Пусть х>у => по определению предела $ n0’: "n>n0’ |хN-х|$ n0”: "n>n0” |yN-y|"n>max{n0’, n0”}: |хN-х|<|х-у|/2 & |уN-у|<|х-у|/2, т.е. получаем 2 интервала (у-Е,у+Е) & (х-Е,х+Е)], причем (у-Е,у+Е)З(х-Е,х+Е)=Ж. "n>max{n0’, n0”} хNО(х-Е,х+Е) & уNО(у-Е,у+Е) учитывая, что х>у получаем: "n>max{n0’, n0”} хN>yN - противоречие с условием.

Теорема: Если $n0: "n>n0 aNЈbNЈcN и $ Lim aN=a, $ Lim cN=c, причем a=c, то $ Lim bN=b => a=b=c.

Доказательство: Возьмем произвольно Е>0, тогда $ n’: "n>n’ => cN<(a+E) & $ n”: "n>n” => (a-E)N. При n>max{n0,n’,n”} (a-E)NЈbNЈcN<(a+E), т.е. " n>max{n0,n’,n”}=>bNО(a-E,a+E)


9. Предел монотонной последовательности

Определение: Последовательность называется монотонно возрастающей (убывающей) если " n1>n2 (n12): xN1іxN2 (xN1ЈxN2).

Замечание: Если xN1 строго больше (меньше) xN2, тогда посл-ть называется строго монотонно возрастающая (убывающая) в случае нестрогости неравенства последовательность называется нестрого возрастающей (убывающей).

Теорема: Всякая ограниченная монотонная последовательность сходится.

Доказательство: Пусть хN ограниченная монотонно возрастающая последовательность. Х={xN: nОN}

По теореме о существовании точной верхней грани у ограниченного множества имеем: $ SupX=x, "Е>0 $xE: (х-Е)<хE => $ n0 xNo>(х-E). Из монотон ности имеем: "n>n0 xNіxNo>(x-E), получили xNЈx=SupX, значит "n>n0 xNО(x-E,х]<(x-E,x+E)















10.Лемма о вложенных промежутках

Определение: Пусть а,bОR и а

1) Mножество хОR: аЈхЈb (а<х

2) Mножество хОR: аЈхЈb) - открытый справа (слева) промежуток

3) Mножество хОR: а<х & x

4) Mножество хОR: аЈх & хЈb - числовой луч

5) Mножество хОR - числовая прямая

Определение: Число b и а (если они существуют) называются правым и левым концами отрезка (далее промежутка), и его длина равна b-a

Лемма: Пусть aN монотонно возрастает, bN монотонно убывает, "n aNЈbN и (bN-aN)-бм, тогда $! с: "n cО[aN,bN] (с З[aN,bN])

Доказательство:

aNЈbNЈb1 aN монтонно возрастает & aNЈb1 => $ Lim aN=a

a1ЈaNЈbN bN монтонно убывает & a1ЈbN => $ Lim bN=b

aNЈa bЈbN aNЈbN => aЈb

Lim (bN-aN)=b-a=0(по условию)=>a=b

Пусть c=a=b, тогда aNЈcЈbN

Пусть с не единственное: aNЈc’ЈbN, с’с

aNЈcЈbN=>-bNЈ-cЈ-aN => aN-bNЈc’-cЈbN-aN => (По теореме о предельном переходе) => Lim(aN-bN)ЈLim(c’-c)ЈLim(bN-aN) => (a-b)ЈLim(c`-c)Ј(b-a) =>

0Јlim(c`-c)Ј0 => 0Ј(c`-c)Ј0 => c’=c => c - единственное.

Перефразировка Леммы: Пусть имеется бесконечнаz посл-ть вложенных друг в друга промежутков (промежуток 1 вложен в промежуток 2 если все точки промежутка 1 принадлежат промежутку 2: [a1,b1],[a2,b2],...,[an,bn]..., так что каждый последующий содержится в предыдущем, причем длины этих промежутков стремятся к 0 при n®Ґ lim(bN-aN)=0, тогда концы промежутков aN и bN стремятся к общему пределу с (с разных сторон).


42.Локальный экстремум. Теорема Ферма и ее приложение к нахождению наибольших и наименьших значений.

Определение: Пусть задан промежуток I=(a;b), точка x0О(a;b). Точка x0, называется точкой локалниого min(max), если для всех xО(a;b), выполняется

f(x0)0)>f(x)).

Лемма: Пусть функция f(x) имеет конечную производную в точке x0. Если эта производная f‘(x0)>0(f‘(x0)<0), то для значений х, достаточно близких к x0 справа, будет f(x)>f(x0) (f(x)0)), а для значений x, достаточно близких слева, будет f(x)0) (f(x)>f(x0)).

Доказательство: По определению производной,.

Если f‘(x0)>0, то найдется такая окрестность (x0-d,x0+d) точки x0, в которой (при хx0) (f(x)-f(x0))/(x-x0)>0. Пусть x0d, так что х-х0>0 => из предыдущего неравенства следует, что f(x)-f(x0)>0, т.е. f(x)>f(x0). Если же x-d<x0 и х-х0<0, то очевидно и f(x)-f(x0)<0, т.е. f(x)0). Ч.т.д.

Теорема Ферма: Пусть функция f(x) определена в некотором промежутке I=(a;b) и во внутренней точке x0 этого промежутка принимает наибольшее (наименьшее) значение. Если функция f(x) дифференцируема в точке x0, то необходимо f‘(x0)=0.

Доказательство: Пусть для определенности f(x) принимает наибольшее значение в точке x0. Предположение, что f‘(x0)0, приводит к противоречию: либо f‘(x0)>0, и тогда (по лемме) f(x)>f(x0), если x>x0 и достаточно близко к x0, либо f‘(x0)<0, и тогда f(x)>f(x0), если x0 и достаточно близко к x0. В обоих случаях f(x0) не может быть наибольшим значением функции f(x) в промежутке I=(a;b) => получили противоречие => теорема доказана.

Следствие: Если существует наибольшее (наименьшее) значение функции на [a;b] то оно достигается либо на концах промежутка, либо в точках, где производной нет, либо она равна нулю.


























43.Теоремы Ролля, Лагранжа, Коши (о среднем значении).

Теорема Ролля

Пусть 1) f(x) определена и непрерывна в замкнутом промежутке [a;b]

2) сущестует конечная производная f’(x), по крайней мере в отткрытом промежутке (a;b)

3) на концах промежутка функция принимает равные значения: f(a)=f(b)

Тогда между a и b найдется такая точка c(a), что f’(с)=0.

Доказательство: f(x) непрерывна в замкнутом промежутке [a;b] и потому, по второй теореме Вейерштрасса (Если f(x), определена и непрерывна в замкну том промежутке [a;b], то она достигает в этом промежутке своих точных верхней и нижней границ), принимает в этом промежутке как свое наибольшее значение M, так и свое наименьшее значение m.

Рассмотрим два случая:

1) M=m. Тогда f(x) в промежутке [a;b] сохраняет постоянное значение: неравенство mЈf(x)ЈM в этом случае "x дает f(x)=M => f’(x)=0 во всем промежутке, так что в качестве с можно взять любую точку из (a;b).

2) M>m. По второй теореме Вейерштрасса оба эти значения функцией достигаются, но, так как f(a)=f(b), то хоть одно из них достигается в некоторой точ ке с между a и b. В таком случае из теоремы Ферма (Пусть функция f(x) определена в некотором промежутке I=(a;b) и во внутренней точке x0 этого промежутка принимает наибольшее (наименьшее) значение. Если функция f(x) дифференцируема в точке x0, то необходимо f‘(x0)=0) следует, что произ водная f’(с) в этой точке обращается в нуль.

Теорема Коши:

Пусть 1) f(x) и g(x) непрерывны в замкнутом промежутке [a;b] & g(b)g(a)

2) сущестуют конечные производные f’(x) и g’(x), по крайней мере в отткрытом промежутке (a;b)

3) g’(x)№0 в отткрытом промежутке (a;b)

Тогда между a и b найдется такая точка c(a), что

Доказательство: Рассмотрим вспомогательную функцию h(x)=[f(x) - f(a) -*(g(x) - g(a))]

Эта функция удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля:

1) h(x) непрерывна на [a;b], как комбинация непрерывных функций

2) сущестует конечная производная h’(x) в (a;b), которая равна h’(x)=f’(x) -*g’(x)

3) прямой подстановкой убеждаемся h(a)=h(b)=0

Вследствие этого в промежутке (a;b) существует такая точка с, что h’(x)=0 => f’(c) -*g’(c) или f’(c) =*g’(c).

Разделив обе части равенства на g’(x) (g’(x)0) получаем требуемое равенство.

Теорема Лагранжа:

Пусть 1) f(x) определена и непрерывна в замкнутом промежутке [a;b]

2) сущестует конечная производная f’(x), по крайней мере в отткрытом промежутке (a;b)

Тогда между a и b найдется такая точка c(a), что

Доказательство: По теореме Коши, полагая g(x)=x, имеем:

Промежуточное значение с удобно записывать в виде с=а+q(b-a), где (0;1). Тогда принимая x0=a, (b-a)=h, мы получаем следующее следствие:

Следствие: Пусть f(x) дифференцируема в интервале I=(a;b), x0ОI, x0+hОI, тогда $ qО(0;1): f(x0+h)-f(x0)=f’(x0+qh)*h ([x0;x0+h] h>0, [x0+h;x0] h<0)



























11. Подпоследовательности. Теорема Больцано-Вейерштрасса.

Определение: Пусть аN некоторая числовая посл-ть и kN-строго возрастающая посл-ть N чисел. В результате композиции ф-ций n®aN и n®kN получа ем посл-ть aKn-которая наз. подпосл-тью посл-ти aN=>подпосл-сть - это либо сама посл-ть либо исходная посл-ть, из которой выбросили часть членов.

Теорема: Если Lim аN=а, то и Lim аKn=а.

Доказательство: Вне любой Е-окрестности точки а лежит конечное число членов последовательности аn и в частности последовательности.

Доказательство: Пусть для заданного Е нашлось n0: "n>n0N-а|<Е, ввиду того что kN®Ґ существует и такое n’, что при всех n>n’ kN>n0 тогда при тех же значениях n будет верно |аKn-а|<Е

Теорема Больцано-Вейерштрасса: Из всякой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность.

Доказательство: хN - ограничена => "n: аЈхNЈb. Поделим промежуток [a,b] пополам, хотя бы в одной его половине содержится бесконечное множество членов посл-ти хN (в противном случае и во всем промежутке содержится конечное число членов посл-ти, что невозможно). Пусть [а1,b1] - та половиа, которая содержит бесконечное число членов посл-ти. Аналогично выделим на промежутке [а1,b1] промежуток [а2,b2] также содержащий бесконечное число членов посл-ти хN. Продолжая процесс до бесконечности на к-том шаге выделим промежуток [аK,bK]-также содержащий содержащий бесконеч ное число членов посл-ти хN. Длина к-того промежутка равна bKK = (b-a)/2K, кроме того она стремится к 0 при ꮥ и аKіаK+1 & bKЈbK+1. Отсюда по лемме о вложенных промежутках $! с: "n аNЈcЈbN.

Теперь построим подпоследовательность:

хN1 О1,b1]

хN2 О2,b2] n2>n1

. . .

хNKОK,bK] nK>nK-1

аЈхNkЈb. (Lim aK=LimbK=c из леммы о вложенных промежутках)

Отсюда по лемме о зажатой последовательности Lim хNk=c - ч.т.д.


12.Верхний и нижний пределы последовательности.

xN - ограниченная последовательность =>"n аNЈхNЈbN

хNK®х, так как хNK-подпоследовательность => "n аЈхNЈb =>аЈхЈb

х - частичный предел последовательности хN

Пусть М - множество всех частичных пределов.

Множество М ограничено (аЈМЈb) => $ SupM & $ InfM

Верхним пределом посл-ти xN называют SupMSup{xN}: пишут Lim xN

Нижним предел ом посл-ти xn называют InfM№Inf{xN}: пишут lim xN

Cуществование нижнего и верхнего пределов вытекает из определения.

Достижимость:

Теорема: Если хN ограничена сверху (снизу), то $ подпосл-ть хNK: предел которой равен верхнему (нижнему) пределу хN.

Доказательство: Пусть х=SupM=верхний предел хN

$ х’ОМ: х-1/к<х’ (следует из того что х - SupМ), т.к. х’ОМ => $ подпоследовательность хNS®х’ => "Е>0 (в частности Е=1/к) $ s0: "s>s0 =>

х’-1/к<хNS<х’+1/к

х -1/к-1/к<х’-1/к<хNS<х’+1/к<х+1/к (т.к.х-1/к<х’ и х’<х=SupМ)

х-2/к<хNS<х+1/к

Берем к=1: х-2<хNS<х+1, т.е $ s0: "s>s0 это неравенство выполняется берем член посл-ти хNS с номером больше s0 и нумеруем его хN1

k=1: х-2/1<хN1<х+1/1

k=2: х-2/2<хN2<х+1/2 n12

...

k=k: х-2/к<хNK<х+1/к nK-1K

При ꮥ хNK®х


13.Фундаментальные последовательности.

Определение: Последовательность {аN} - называется фундаментальной, если "Е>0 $ n0: "n>n0 и любого рОN выполнено неравенство |аN+р-аN|<Е. Геометрически это означает что "Е>0 $ n0, такой что расстояние между любыми двумя членами посл-ти, с большими чем n0 номерами, меньше Е.

Критерий Коши сходимости посл-ти: Для того, чтобы данная посл-ть сходилась необходимо и достаточно, чтобы она являлась фундаментальной.

Доказательство:

Необходимость: Пусть Lim xN=x, тогда "Е>0 $ n0: "n>n0 N-х|<Е/2. n>n0, n’>n0NN’|=|хN-х+х-хN’|<|хN-х|+|х-хN’|<Е/2+Е/2<Е

Достаточность: Пусть хN - фундаментальная

1) Докажем что хN ограничена: Е1=1998 $ n0: |хNN’|<Е, n>n0, n’>n0

"n>n0NN0|<Е1 х N0-1998<хN N0+1998 => хN - ограничена

2) По теореме Больцано-Вейерштрасса

$ подпосл-ть хNK®х. Можно выбрать к настолько большим, чтобы |хNK-х|<Е/2 и одновременно nк>n0. Следовательно (из фунд-ти) |хNNK|<Е/2 =>

NK-х|<Е/2 => х-Е/2<хNK<х+Е/2 => |хNNK|<Е/2 => хNK-Е/2<хNNK+Е/2 => х-Е<хN<х+Е => |хN-х|<Е










14.Бином Ньютона для натурального показателя.Треугольник Паскаля.

Формула Ньютона для бинома:

nОN

Разложение Паскаля

(Записав коэффициенты в виде пирамиды - получим треугольник Паскаля)

...

*: к=0,1,...,n

Доказательство(по индукции):

1) n=0 - верно (1+х)0=1 =>(1+х)0 =

2) Пусть верно для n: докажем что это верно и для n+1:

= Ч.т.д


16.Последовательности (во всех пределах n®Ґ)

1) Lim= 0 (p>0)

- это означает что, мы нашли такое n0=: "n>n0 ||


2) Lim=1

xN= - 1

=1+xN

n=(1+xN)n

n=

xN2<2/(n-1)

При n®Ґ ®0 => xN®0 (Лемма о зажатой последовательности)=>Lim=Lim (1+xN)=1+0=1


16.Последовательность (1+1/n)n и ее предел.

xN=; yN=; zN=yN +

xN монотонно возрастает: докажем:

xN=(1+1/n)n=1+ n/1!*1/n + n*(n-1)/2!*1/n2 +... < 1 + 1/1! + 1/2!+...+1/n! = yN => yNN<3

Воспользуемся неравенством Бернулли (1+x)nі1+nx, x>-1) (доказывается по индукции):

x=1/n => (1+1/n)nі1+n/n=2

Получили: 2 Ј xN<3 => xN - ограничена, учитывая что xN - монотонно возрастает => xN - сходится и ее пределом является число е.









17. Последовательности (во всех пределах n®Ґ)

1) Lim=1, a>0

a) aі1:

xN=xN+1==> $ Lim xN=x

xN+1=xN *

xN=xN+1 *

xN=xN+1*xN*(n+1)

Lim xN=Lim (xN+1*xN*(n+1)) => x = x*x => x = 1

б) 0N=

Lim=1 b=1/a =>= 1/=> Lim= 1/1 = 1

2) Lim = 0, a>1

xN=xN+1=

т.к. Lim= Lim=Lim=1

=> $ n0: "n>n0 xn+1/xn<1 => СТ x=limxn

xN+1=xN*

Lim xN+1 = Lim xN* => x = x*1/a => x=0

Докажем, что если xN®1 => (xN)a®1:

a) "n: xNі1 и 0

(xN) [a]Ј(xN)a<(xN)[a]+1 => по лемме о зажатой посл-ти, учитывая что Lim (xN)[a]=Lim (xN)[a]+1=1 (по теореме о Lim произведения) получаем Lim (xN)a =1

б) "n: 0N<1 и 0

yN=1/xN => yn>1 Lim yN=lim1/xN=1/1=1 => (по (а)) Lim (yN)a =1 => lim 1/(xN)a =1 => Lim (xN)a =1

Объединим (а) и (б):

xN®1 a>0

xN1,xN2,...>1 (1)

xM1,xM2,...<1 (2)

Вне любой окрестности точки 1 лежит конечное число точек (1) и конечное число точек (2) => конечное число точек xN.

в) a<0

(xN)a =1/(xN)- a a<0 => -a>0 => по доказанному для a>0 получаем, Lim 1/(xN)- a = 1 => Lim (xN) a = 1


15. Доказательство формулы e=...

yN=; zN=yN +

1) yN монотонно растет

2) yNN

3) zN-yN®0

4) zN монотонно убывает

Доказателство:

zN-zN+1 = yN + - yN+1 -= +-=

2=y1NN1=3

e = Lim yN = Lim zN - по лемме о вложенных промежутках имеем: yN<eN = yN + 1/(n*n!)

Если через qN обозначить отношение разности e - yN к числу 1/(n*n!), то можно записать e - yN = qN/(n*n!), заменяя yN его развернутым выражением получаем e = yN + qN/(n*n!), (0,1)

Число e иррационально:

Доказательство(от противного): Пусть e=m/n, mОZ, nОN

m/n = e = yN + qN/(n*n!)

m*(n-1)!= yN*n! + qN/n, где (m*(n-1)! & yN*n!)ОZ, (qN/n)ПZ => противоречие









23. Определения предела функции по Коши и по Гейне. Их эквивалентность.

Определение по Коши: f(x) сходится к числу А при х®х0 если "Е>0 $d>0: 0<|х-х0|<d & хОDf => |f(x)-А|<Е

Определение по Гейне: f(x) сходится к числу А при х®х0 если " последовательности хN®х0, хNх0 f(xN)®А

Теорема: Два определения эквивалентны:

Д-во: Для эквивалентности определений достаточно доказать, что из сходимости по Коши следует сходимость по Гейне и из сходимости по Гейне следует сходимость по Коши.

1) (К)=>(Г)

"Е>0 $d>0: 0<|х-х0|<d & хОDf => |f(x)-А|<Е - определение Коши

хN®х0, хNх0, т.к. хN®х0 => $ n0: "n>n0 0<|xN-x0|<Е (Е=d) => 0<|xN-x0|<d => по определению Коши |f(xN)-А|<Е

2) (Г)=>(К) Воспользуемся законом логики: Если из отрицания B следует отрицание А, то из А следует В:

Таким образом нам надо доказать что из отрицания (К) => отрицание (Г)

Отрицание (К): $ Е>0: "d >0 $ x: 0<|x-x0|<d => |f(x)-A|іE

Отрицание (Г): $ хN®х0, хNх0: |f(xN)-A|іE

$ хN®х0, хNх0 => $ n0: "n>n0 0<|xN-x0|<Е (Е=d) => по отрицанию определения Коши |f(xN)-А|іЕ

Для ф-ции х®f(х) определенной на интервале (а,+Ґ), определяется предел при хN®Ґ следующим образом: limf(х) при хN®Ґ = Limf(1/t) t®+0

(если последний существует). Таким же образом определяются Lim f(х) при хN®-Ґ = Lim f(1/t) t®-0 и хN®Ґ = lim f(1/t) t®0


24. Односторонние пределы. Классификация разрывов. Определение непрерывности.

Lim(х0±|h|) при h®0 - называется односторонним правым (левым пределом) ф-ции f(x) в точке х0

Теорема: Пусть интервал (x0-d,x0+d)\{x0} принадлежит области определения ф-ции для некоторго d>0. Тогда Lim f(x) в точке х0 существует <=> когда cуществуют правый и левый предел f(x) в точке х0 и они равны между собой.

Необходимость: Пусть предел f(х) существует и равен А => "Е>0 $ d >0: -d<х-х0<d => |f(х)-А|<Е, т.е. $ такое d, что как только х попадает в d-окрестность точки x0 сразу f(х) попадает в интервал (f(х)-А,f(х)+А). Если х попадает в интервал (0, x0+d) => x попадает в интервал (x0-d,x0+d) => f(х) попадает в интервал (f(х)-А,f(х)+А) => правый предел существует и он равен А. Если х попадает в интервал (x0-d,0) => x попадает в интервал (x0-d,x0+d) => f(х) попадает в интер вал (f(х)-А,f(х)+А) => левый предел существует и он равен А.

Достаточность: Lim (х0±|h|) при h®0: Lim(х0+|h|) = Lim(х0-|h|)=А

"Е>0 $ d’ >0: 0<х-х0<d’ => |f(х)-А|<Е

"Е>0 $ d” >0: -d”<х-х0<0 => |f(х)-А|<Е

Получили "Е>0 $ 0<d=min{d’,d”}: -d <х-хо<d => |f(х)-А|<Е

Определение: Функция f(x) называется непрерывной в точке х0 если при х®х0 Lim f(х)=f(х0). Заменяя в определениях предела фнкции по Коши и по Гейне А на f(х0) получаем определения по Коши и по Гейне непрерывности ф-ции f(x) в точке х0. Поскольку в опр-нии по Коши нер-во |f(х)-f(х0)|<Е выполнено и при х=х0 => в определении можно снять ограничение хх0 => получим второе равносильное определение:

Определение 2: Функция f(x) называется непрерывной в точке х0, если "Е>0 $d>0: -d <х-хо<d => |f(х)-f(а)|<Е

Аналогично сняв ограничение хх0 - получим определение по Гейне:

Определение 3: Функция f(x) называется непрерывной в точке х0, если " посл-ти хN®х0, f(xN)®f(a)

Если при х®х0 limf(х)f(х0), то говорят что функция f(x) имеет разрыв в точке х0. Это происходит если:

а) f(х) неопределена в точке х0

б) Предел f(х) в точке х0 не существует

в) f(х) определена в х0 и limf(х) в точке х0 существует но равенство Дшь f(х)=f(а) не выполняется

Различают:

1) точки разрыва I рода, для которых существуют конечные односторонние пределы (либо они неравны друг другу либо равны, но неравны f(х0)

2) точки разрыва II рода - не существует хотя бы один односторонний предел.

Если правый и левый предел в х0 совпадают, то х0 называют устранимой точкой разрыва.

Если хотя бы один из односторонних пределов равен бесконечности, то х0 - точка бесконечного разрыва.

Пусть x0 - точка разрыва, x0 называется изолированной, если в некоторой окрестности этой точки других точек разрыва нет.

Если значение правого (левого) предела в точке х0 совпадает со значением f(x0), то f(x) называется непрерывной справа (слева).

Если предел f(x) справа (слева) в точке х0 не существует, а предел слева (справа) существует и равен значению f(х0), то говорят что функция f(x) имеет в точке х0 разрыв справа (слева). Такие разрывы называют односторонними разрывами f(x) в точке х0.

Функция х®f(x) называется непрерывной на множестве Х если она непрерывна в каждой точке х этого множества.







26. Арифметика пределов функций. Порядковые свойства пределов.

Теорема: Все пределы в точке х0: Пусть ф-ции f:Х®R и g:Х®R (ХНR) таковы, что Lim f(x)=F, Lim g(x)=G, тогда


Случайные файлы

Файл
79298.rtf
91136.rtf
25806-1.rtf
26263.rtf
46011.rtf




Чтобы не видеть здесь видео-рекламу достаточно стать зарегистрированным пользователем.
Чтобы не видеть никакую рекламу на сайте, нужно стать VIP-пользователем.
Это можно сделать совершенно бесплатно. Читайте подробности тут.