Математические модели естествознания (LEKCY5)

Посмотреть архив целиком

Возрастание средней приспособленности

Выше средней приспособленностью в n -ом поколении была названа величина . Она интерпретировалась, как полная вероятность того, что особь n -ого поколения доживает до этапа размножения. Покажем, что средняя приспособленность -неубывающая функция от номера поколения n. Таким образом, эволюция происходит в сторону возрастания приспособленности популяции, что полностью соответствует теории Ч. Дарвина.

Запишем как функцию от :

и вычислим ее производные:

,

.

Таким образом, экстремальное значение достигается при

(23)

и является максимумом при и минимумом, если .

Рассмотрим первый случай, когда . Квадратичная функция не имеет экстремума на интервале . Действительно, пусть для определенности . Тогда из (23) следует, что экстремальная точка . Для всего интервала производная имеет один и тот же знак. При имеем . Следовательно, функция на интервале монотонно растет. Напомним, что в рассматриваемом случае для траектории отображения также монотонно при . В результате . При этом .

Второй случай подобен первому. Функция на интервале не имеет экстремума и монотонно убывает. Согласно полученным ранее результатам, для траектории отображения имеем: . В результате последовательность оказывается монотонно растущей: . При этом при .

В третьем случае (, ) экстремальная точка является точкой максимума, т.к.