Математическая теория захватывания (84357)

Посмотреть архив целиком

Введение и краткое резюме


Настоящая работа посвящена исследованию движений автоколебаний системы с одной степенью свободы под действием внешней периодической силы. Такие движения представляют интерес для радиотелеграфии (например, к исследованию таких движений сводится теория регенеративного приемника). Особенно замечательно здесь явления так называемого "захватывания". Это явление заключается в том, что, когда период внешней силы достаточно близок к периоду автоколебаний системы, биения пропадают; внешняя сила как бы "захватывает" автоколебания. Колебания системы начинают совершаться с периодом внешнего сигнала, хотя их амплитуда весьма сильно зависит от амплитуды "исчезнувших" автоколебаний. Интервал захватывания зависит от интенсивности сигнала и от автоколебательной системы.

Теоретически этот вопрос уже разбирался, однако методами математически недостаточно строгими; кроме того, бралась характеристика весьма частного вида - кубическая парабола. Поэтому мы будем рассматривать случай произвольной характеристики при колебаниях близких к синусоидальных.

В этой работе мы рассмотрим периодические решения с периодом, равным периоду внешней силы, и их устойчивость при малых отклонениях. Мы оставим в стороне другие стационарные движения, возможные в исследуемой системы, например периодические решения с периодом, кратным периоду внешней силе, или квазипериодические решения. Мы оставим в стороне важный вопрос об устойчивости при больших отклонениях

Для отыскания периодических решений воспользуемся методом Пуанкаре, которые позволяют быстро решить задачу для случая колебаний, достаточно близких к синусоидальным. С этой целью введем в наше уравнение параметр таким образом, чтобы при = 0 уравнение превращалось в линейное и колебания делались синусоидальными. Этот параметр , который мы предполагать достаточно малым, может иметь различный смысл в зависимости от выбора системы.

Для решения вопроса об устойчивости найденного решения при малых отклонениях воспользуемся методами Ляпунова, требуя, чтобы искомые решения обладали "устойчивостью по Ляпунову".

В настоящей работе мы не будем вычислять радиусы сходимости тех рядов, с которыми нам придется иметь дело; грубая оценка может быть сделана по Пуанкаре.

В § 1 и 2 рассматривается область достаточно сильной расстройки; § 3 и 4 посвящены рассмотрению области резонанса; в § 5 показывается, как общие формулы для амплитуд и для устойчивости, полученные в § 1- 4, могут быть применены в конкретных случаях, причем в качестве примера рассматривается случай Ван дер Поля. Результаты применения общих формул совпадают с теми, которые получил нестрогим путем Ван дер Поль.


§ 1 Отыскание периодического решения в случае достаточно сильной расстройки.

Уравнение, которое нас будет интересовать:




При = 0 это уравнение имеет единственное периодическое решение


Рассмотрим случай, когда бесконечно мало. Согласно Пуанкаре мы будем искать решение (1) в следующем виде:


Начальные условия выберем так:

F2 - степенной ряд по 1 2, начинающийся с членов второго порядка. Подставим (3) в (1):



Сравнивая коэффициенты при 1 2, получим уравнение для А, В, С. Начальные условия можно получить для них, подставив (4) в (3).



Решая задачи Коши, получим:



Для того, чтобы (3) представляли периодические решения необходимо и достаточно, чтобы




Введем обозначения ; для остальных функций аналогично.

Тогда (6) запишется в виде:



Если в этой системе можно 1 2 представить в виде функции так, чтобы 1 2, исчезли из системы (7) , то (3) - периодическое решение уравнения (1). Иначе Х- не периодично. Достаточным условием существования периодического решения при малых служит неравенство 0 Якобиана.




В нашем случае:

Т.е. мы всегда имеем периодические решения при малых и любых f. Искомое периодическое решение может быть найдено в виде.






§ 2 Исследование устойчивости периодического решения


Составим уравнения первого приближения, порождаемое решением (8). Сделаем замену: x = Ф(t) + ; в уравнении (1) при этом отбросим члены , содержащие квадраты и высшие степени и '.






Воспользуемся тем фактом, что Ф (t) - решение уравнения. Получим уравнение первого приближения:





Это линейное дифференциальное уравнение с периодическими коэффициентами. Его решение мы будем искать в виде функции времени Удовлетворяют тому же уравнению, что и , то есть (10). Начальные условия для них определены следующим образом.

; аналогичным образом можно показать, что (11).

Представим правую часть уравнения в виде степенного ряда по .



будем искать в виде: (12).

Подставим (12) в (10) и сравнивая коэффициенты при соответствующих степенях , получим:


Начальные условия для Ао , Во, …. Следует выбрать так, чтобы выполнялись условия (11). Действительно подставляя (11) в (12) и сравнивая коэффициенты при соответствующих степенях , получим


Для В'о и Во аналогично. Для остальных же как видно из уравнений условия будут нулевые. Итак:


(14)


Решение (13) можно найти при помощи квадратур:


(15)


Если вспомнить общую теорию линейных диффуров с периодическими коэффициентами, то общее решение (10) имеет вид:



S1, S2 - периодические функции с тем же периодом, что и Ф (t). 1, 2 - характеристические показатели.

Если все , т.е. колебания затухают, то в этом случае выполняется теорема, доказанная Ляпуновым, относительно того, что периодическое решение уравнения первого приближения вполне устойчиво. Согласно Пуанкаре характеристические показатели можно определить из следующего уравнения:



=0 (16) Полагаем ;




Тогда определитель будет:



Вопрос об устойчивости, как сказано выше, решается знаком Re (), или что все равно  . Если  < 1 имеет место устойчивость  = 1 этот случай для нашей задачи не представляет интереса. > 1 имеет место неустойчивость.

При рассмотрении (18) имеют место 2 случая q > р2; q < р2; В первом случае -комплексные; 2 =q; (20) если q<1; устойчивость q>1 - неустойчивость.

Случай второй - - действительные: ; (21) устойчивость соответствует p и q нетрудно получить в виде рядов по степени из формул (19) (12).


(22)

Если принять во внимание (15)


(22a)


(23)


Мы видим, что при достаточно малом и n; n Z вопрос об устойчивости решается величиной q и следовательно знаком b, если b < 0- имеет место устойчивость, b > 0 - неустойчивость.

В нашем случае b имеет вид:

(23a)


§ 3 Отыскание периодического решения в области резонанса.

Тогда о; 2 = 1+ aо , (24) (aо , - расстройка , реальный физический резонанс наступает при aо 0).

Тогда исследуемое уравнение имеет вид :


(25)


При = 0 периодическое решение будет иметь вид : (26)

Следуя Пуанкаре, мы можем предположить периодическое решение в виде:


(27);


Начальные условия возьмем как и раньше:



Аналогично тому, как мы это делали в предыдущих параграфах. Подставляем (27) в (25) и, сравнивая коэффициенты при 1 2, и других интересующих нас величинах, получим уравнение, которым удовлетворяет A, B, C, D, E, F. Начальные условия для этих уравнений определим, если подставим (28) в (27).


(29)


Запишем условия периодичности для (27):


Делим на :