Лекции по математической статистике (84339)

Посмотреть архив целиком



Введение


Истоками математической статистики (М.С.) является большой объем статистических данных и потребность после их специальной обработки сделать прогноз развития исходной ситуации.

Первый раздел М.С. – описательная статистика – предназначена для сбора, представления в удобном виде и описания исходных данных. Описательная статистика обрабатывает два вида данных: количественные и качественные.

К количественным относятся рост, вес и т.д. к качественным – тип темперамента, пол.

Описательная статистика позволяет описать, обобщить, свести к желаемому виду свойства массивов данных.

Второй раздел М.С. – теория статистического вывода – это формализованная система методов решения задач, сводящихся к попытке вывести свойства большого массива данных путем обследования его малой части.

Статистический вывод строится на описательной статистике и от частных свойств выборки данных мы переходим к частным свойствам совокупности.

Третий раздел М.С. - планирование и анализ эксперта. Разработана для обнаружения и анализа причинных связей между переменными.



Измерение, шкалы и статистика


Измерение – это приписывание чисел объектам в соответствии с определенными правилами. Числа – это удобные в обработке объекты, в которые мы преобразуем определенные свойства нашего восприятия.

Шкала наименований или номинальная шкала. Номинальное измерение сводится к разбиению совокупности объектов на классы в каждом из которых сосредоточены объекты, идентичные по какому-нибудь признаку или свойству, например, по национальности, по полу, по типу темперамента.

При данных измерениях каждому из классов присваивается число, но оно используется исключительно как название этого класса и никаких операций над этими числами производить не предполагается.

Порядковое измерение возможно только тогда, когда в квалифицируемых объектах можно различить разную степень признака и свойства, на основе которого производится квалификация (например, конкурс красоты «Умники и умницы»). В данном случае числа используют только одно свое свойство – способность упорядочиваться.

Интервальная шкала принимается тогда, когда можно определить не только количество, свойства или признака в объекте, но также зафиксировать равные различия между объектами, то есть можно ввести единицу измерения для свойства или признака (например, температура, возраст).

Числа при интервальных измерениях имеют свойство упорядоченности и однозначности. Равные разности чисел соответствуют равным разностям значений измеряемого свойства или признака объекта.

Шкала отношений отличается от интервальной только тем, что точка отсчета не произвольна, а указывает на полное отсутствие измеряемого свойства или признака объекта.


Переменные и их измерение


Переменные бывают дискретные и непрерывные. При измерениях, особенно непрерывных свойств или признаков, можно достигнуть только косвенного значения переменной, то есть приближенного к точному и степень этого приближения будет определяться чувствительностью измерения.

Чувствительность определяется минимальной единицей цифровой шкалы, имеющейся в нашем распоряжении.

Пределы для точного значения устанавливаются путем прибавления и вычитания половины чувствительности измерительного процесса.

Множество чисел записывается с использованием произвольной величины с индексом, который указывает порядковый номер величины в цепи данных (xi).



Обозначение и его свойства


1.


2.


3.


4.


5.



Табулирование и представление данных


Перед анализом и интерпретацией данных их обобщают.

Обобщение – запись данных в виде таблицы. Самый элементарный этап.

Ранжирование – упорядочение переменных от максимального до минимального или наоборот. Такое упорядочивание называется несгруппированным рангом.

Распределение частот. Проранжированный список сворачивают, указывая все полученные измерения подряд, однократно, а в соседней графе указывают частоту, с которой встречается данная оценка

Распределение сгруппированных частот применяется при большом количестве оценок (100 и более). Оценки группируются по признакам и каждая такая группа называется разрядом оценок. В случае полного поглощения этими группами всех данных, мы говорим о распределении сгруппированных частот.




Построение распределения сгруппированных частот


Оценки

Интервал

Подсчет

Частота

90 95 51 112

110-114

1

1

66 78 109 62

105-109

111

3

106 70 89 91

100-104

11

2

84 47 58 93

95-99

1111

4

105 95 59 84

90-94

111

3

83 100 72

85-89

1

1

104 69 74

80-89

111111

6

82 44 75

75-79

1111

4

97 80 81

70-74

1111

4

97 75 71

65-69

111

3

59 75 68

60-64

1

1


55-59

111

3


50-54

1

1


45-49

1

1


44-45

1

1


Предварительно образовывать не менее 12 и более 15. Меньше 12 искажает результат, более 15 затрудняет работу с таблицей.

1) Определяем размах – разницу между максимальной и минимальной оценкой (112-44=69)

2) Выбор интервала разряда: 69:12=5,75

Определяем с уменьшением до 5: 69:15=4,6

3) Определение границ раздела. Необходимо образовать достаточное количество разрядов, чтобы не потерять самую маленькую и самую большую оценки, поэтому табулирование начнем с величины кратной интервалу. Ближайшее кратное 5 ниже нижней оценки – это 40. И делим на разряды до тех пор, пока не будет охвачена самая высокая оценка. Если необходимо сравнить 2 и более выборки, их помещают в такую же таблицу.



Квантили


Квантили – это способ описать группу измерений. Квантиль – это общее понятие.

Квантиль – точка на числовой шкале, которая делит совокупность наблюдений на группы с соответствующими пропорциями в каждой из них.

Квартиль – делит наблюдения на 4 группы (Q)

Дециль – делит наблюдения на 10 групп (D)

Квинтель – делит наблюдения на 5 групп (К)

Процентиль – делит наблюдения на 100 групп (Р)



Определение процентелей


Процентель представляет собой точку, ниже которой лежит Р % - в оценок.


Вычисление процентеля


Оценка

38

37

36

35

34

33

32

31

30

28

29

27

26

25

24

Частота

1

1

3

5

9

8

17

23

24

18

10

3

1

0

2

Накопленная частота

125

124

123

120

115

106

98

81

58

16

34

6

3

2



Для определения 25 процентиля P25 (границы под которой расположены 25% всех выставленных оценок)

Общая формула:

где:

n – общее число оценок

L – фактическая нижняя граница того раздела оценок, который включает себя нужную нам оценку

cumf – накопленная в данной нижней границе частота

f – количество оценок в данном разделе

p – определяемый процентиль (в данном случае 0,25)

p*n = 0,25*125=31,25

Находим фактическую нижнюю границу раздела L, содержащую 31,5 (это между 34 и 16).

Нижняя граница оценки 28,5

L=28,5 f=34-16=18

Вычитаем накопленную частоту L из произведения nf: ((31,25-16)/18) + 28,5=29,35

Для определения процентиля в случае наличия интервалов оценок, формула принимает вид:

где W – ширина любого интервала оценок (в примере =1).



Наглядное представление данных


В табличных процессорах представляется возможность оформить численные данные в виде графика или диаграммы различного вида, но разновидностей графического представления данных существует больше, чем это предусмотрено программным обеспечением и прежде чем использовать какой-либо из видов необходимо:

  • выделить в данных существенную информацию;

  • знать все типы представления данных и сделать правильный выбор;

  • знать и грамотно использовать потенциал аудитории, для представления которой готовятся данные;

  • если оформление осуществляется не вами, разработать подробные и четкие инструкции для технического персонала с учетом имеющихся средств.

Примеры диаграмм и графиков: линейная, столбиковая, полосчатая, кумулятивная кривая, данные накапливаются с течением времени, пиктограмма – данные представляются в виде стилизованных изображений (улов рыбы в виде рыбы), логарифмическая диаграмма, круговая диаграмма.

Графическое представление распределения частот


  1. Столбиковая диаграмма (гистограмма)

  2. Полигон распределения

  3. Сглаженная кривая


Гистограмма - это последовательность столбцов, каждый из которых опирается на один раздельный интервал, а высота столбца – это частота или количество случаев.

Принято распределять горизонтальную шкалу на один раздельный интервал вправо и влево от полученного диапазона. Чтобы гистограмма не получилась сплющенной или вытянутой, выбирают такой масштаб шкалы, чтобы ее ширина составляла 1 2/3 высоты. Середина столбца совмещается с срединой интервала, на практике ее изображают в форме контура, опуская вертикальные линии.


Полигон распределения – это та же гистограмма, но линии соединяют середины столбцов каждого разрядного интервала. Так как на разрядах справа и слева от разрядов распределения частот, частота имеет нулевое значение, поэтому полигон распределения продолжают до горизонтальной оси в середине интервала ниже меньшей оценки и выше высшей оценки.

Огива производится по точкам максимально приближенно без углов или острых фигур, ее называют кривой процентелей. Точки, определяющие кривую процентелей расположены по горизонтали у верхней границы каждого раздела. Огива проходит путь от 0 до 100%. При рисовании огивы надо следить за тем (особенно при малом числе объектов), чтобы, когда мы сглаживаем кривую, над ней оставались бы столько же точек, сколько и под ней. При отсутствии любых графических средств можно создать гистограмму на пишущей машинке в виде полосчатой диаграммы.

Гистограмма наиболее легка для восприятия и используется в тех случаях когда всего одно распределение. Если надо сравнить два и более распределений, используют полигон, чтобы избежать запутанной картины.

Огива дает возможность оценить квантили, медианы и другие характеристики точки. Удобно сравнивать несколько групп данных на одном графике.



Ошибки при использовании графиков


  1. при создании графика не определяли положение нулевой точки;

  2. представили значения в виде площадей в том случае, когда их надо было отражать линейно;

  3. при использовании небольшого количества объектов сделали вывод относительно всей совокупности.



Правила графического оформления


  1. Вся структура графика предполагает его чтение слева на право, вертикальные шкалы – снизу вверх;

  2. На вертикальной шкале разместить нулевую отметку;

  3. Если нулевая линия вертикальной шкалы не перпендикулярна по отношению к графику, то нулевая линия должна быть показана с помощью горизонтальной оси.

  4. Пороговые точки на шкалах желательно выделить размером или цветом, но если речь идет о временном интервале, предпочтительно не указывать начальной и конечной точек. Подобрать такой масштаб, чтобы кривые линии резко отличались от прямых, желательно включить в график цифровые данные и изображение формулы, расположив их в правом верхнем углу, при необходимости использовать ясные полные заголовки и подзаголовки, как для самой диаграммы, так и для ее осей.



Меры центральной тенденции – первый момент, характеризующие данные


При исследовании массивов данных мы чаще всего оперируем величинами, характеризующими этот массив, именно по ним делаем вывод обо всей совокупности данных. К таким характеристикам относятся меры центральной тенденции, то есть значение наиболее часто встречающееся в данной совокупности. Этих мер существует несколько:

  1. мода – это такое значение во множестве наблюдений которое встречается наиболее часто. Сложность в том, что редкая совокупность имеет единственную моду. (Например: 2, 6, 6, 8, 9, 9, 9, 10 – мода = 9).


Соглашения по поводу моры


  • Если все значения в группе встречаются одинокого часто, считают, что у данной группы, моды нет.

  • Когда два соседних значения имеют одинаковую частоту и эти частоты больше любых других частот в группе, то модой считают среднее от этих двух значений.

  • Если два несмежных значения имеют равную и наибольшую в данной группе частоту, то у этой группы есть две моды, такая группа называется бимодальной. Бимодальной называется группа и в том случае, если эти две черты не совсем равны. В таких случаях договорились различать большую и малую моду и во всей группе, наряду с одной большой модой может быть несколько меньших мод.


  1. медиана – это 50-тый процентиль в группе данных.

  2. среднее (среднеарифметическое или выборочное среднее) – это сумма всех значений, разделенная на их количество. .

Мода наиболее просто вычисляется и при большом количестве измерений достаточно стабильна и близка к медиане и среднему. Медиана вычисляется по сложнее, особенно легко при ранжированных данных. В больших массивах предлагается сначала сгруппировать их, а потом вычислять медиану. Для определения моды и медианы не требуется знание всех остальных значений.

На определение среднего влияют значения всех изменений.

При наличии интервалов в значении, формула для среднего принимает вид:




Свойства среднего


1. Сумма всех n-отклонений от значения среднего должно быть равно нулю, то есть:

2. Если константу прибавить к каждому значению, то среднее увеличивается на ту же константу.


3. Если каждое значение умножить на константу, то среднее то же будет умножено на эту константу.


4. Сумма квадратов отклонений значений от их среднего меньше суммы квадратов отклонений от любой другой точки, то есть:


Средняя медиана и мода для объединенных групп


- среднее для каждого класса, - количество учащихся

Среднее общее группы:

Для определения моды и медианы объединенной группы необходимы конкретные значения измерений.

Мода – это такое число в группе, с которым совпадает наибольшее количество значений в группе.

Медиана – это такая точка на числовой оси, для которой сумма абсолютных значений разности всех значений меньше суммы разностей для любой другой точки. Если именно так определять понятие ошибки, то медиана дает минимальную ошибку. Если же ошибка определяется как сумма квадратов разностей, то минимальную ошибку дает среднее.


Выбор меры центральной тенденции


  • В малых группах мода очень нестабильна;

  • На медиану не влияет величины очень больших и очень малых значений;

  • На величину среднего влияет каждое значение;

  • Некоторые множества данных не имеют меры центральной тенденции. Такая ситуация близка к бимодальной гистограмме или U-образной;

  • Центральная тенденция групп, содержащая крайние значения наилучшим образом представляется в том случае, если гистограмма унимодальна;

  • Если гистограмма симметрична и унимодальна, то средняя мода и медиана совпадают.


Другие меры центральной тенденции

Среднее геометрическое: ; Среднегармоническое:

Меры изменчивости – второй момент характеризующий данные


Для оценки меры неоднородности (разброса, изменчивости), в группе вводят специальные меры, с помощью которых после их исследования можно уменьшить изменчивость данных. Первая из мер изменчивости называется размахом.

Размах – это разность максимального и минимального значений в группе.

Включающий размах – это разность между естественной верхней границей интервала, включая наибольшее значение, и естественной нижней границей, включая наименьшее значение интервала. . Включающий размах отличается от исключающего на единицу.

Размах от 90-го до 10-го процентеля: D = P90P10 . Эта мера более стабильна, чем предыдущая, так как на нее влияет множество значений.

Полу-междуквантильный размах: , Q используется в распределениях, которые симметричны относительно медианы и среднего, для корректировки границ.

Дисперсия. Каждая из предыдущих мер возрастает с ростом рассеяния и уменьшается однородностей. Дисперсию, в отличие от предыдущих мер, используют при вычислении каждого из полученных измерений. Вычисляются значения отклонений и чтобы при суммировании не потерять величины этих отклонений, разница возводится в квадрат, поскольку мы оцениваем отклонение каждого измерения, делим на количество измерений. Обозначается дисперсия как .

Для вычисления дисперсии не нужно вычислять среднее.

Дисперсия при сгруппированных данных вычисляется по такой же формуле, но

i изменяется от 1 до k, где k – количество разных значений .

Стандартное отклонение:

Для унимодальных симметричных распределений почти 70% значений лежит в интервале .


Свойства дисперсии:


1. Влияние на дисперсию увеличения каждого значения на какую либо константу:

, после выполнения математических операций убеждаемся, что дисперсия не изменяется.


2. Изменение дисперсии при умножении каждого исходного значения на константу:

, то есть дисперсия увеличивается на квадрат константы.

3. Дисперсия объединенной группы:

где:

- количество значений группы А, для Б аналогично

- среднее группы А, для Б аналогично


Среднее отклонение – это совокупность отклонений каждого значения от среднего, взятого по модулю:

Очень проста в вычислениях, но редко используется, ввиду того, что нет теоретического обоснования.


Стандартизованные данные


Часто появляется потребность оценить положение какого-либо конкретного значения по отношению к среднему в единицах стандартного отклонения

Любое множество данных можно преобразовать в такое множество, у которого среднее равно нулю, а стандартное отклонение равно единице.


Значение стандартизованных данных Z позволяют преобразовать множество x в произвольную шкалу с удобными характеристиками среднего и стандартизованного отклонения. Сами оценки Z могут быть отрицательными или содержать дроби. Мы избавимся от этих шероховатостей, умножая стандартизованные данные на константу и прибавляем к ним константу.

сz – будет иметь стандартное отклонение

, где с, d – константы – будут иметь среднее равное d.






Третий момент

Асимметрия – это свойство распределения частот. На практике симметричные полигоны и гистограммы не встречаются и чтобы выявить и оценить степень асимметрии, вводят следующую меру:

В единицах стандартного отклонения асимметрия равна:

Асимметрия бывает положительной и отрицательной. Положительная сдвигается влево, а отрицательная – вправо.

Чтобы упростить вычисление Ass можно использовать следующую формулу: