Лекции по линейной алгебре (МГИЕМ, ФПМ) (TRANSF~4)

Посмотреть архив целиком

ГРУППЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ

(продолжение)


11. Конечные группы перемещений.


В этом параграфе будут установлены некоторые общие свойства конечных подгрупп группы , n = 1, 2, 3 .Пусть G - такая подгруппа.

Теорема 11.

Все перемещения из группы G имеют общую неподвижную точку: .

Доказательство.

Пусть задан набор чисел и система точек в пространстве . Выберем начало координат и зададим точки радиусами векторами . Положим . Если выбрать другое начало координат, то радиусы векторы изменятся: . Следовательно, . Мы видим, что положение точки P с радиусом вектором r не зависит от выбора начала при условии, что . В частности можно взять . Соответствующая точка называется центром тяжести данной системы точек.

Пусть . Выберем любую точку и пусть О центр тяжести орбиты точки P: . Пусть теперь произвольный элемент. Поскольку орбиты точек P и g(P) совпадают, имеем: , что и требовалось.

Замечание.

Если выбрать неподвижную точку O за начало координат, то можно считать, что G - подгруппа группы .

Теорема 12.

Пусть - все те перемещения группы G, которые имеют определитель 1. Предположим, что в G содержится также перемещение g с определителем (-1). Тогда все элементы попарно различны и задают полный список перемещений из G с определителем (-1).

Доказательство.

Умножая равенство на , получаем: и потому указанные элементы различны между собой. Поскольку определитель произведения равен произведению определителей, все эти перемещения имеют определитель (-1). Остается проверить, что данный список содержит все перемещения с определителем (-1). Пусть такое перемещение. Элемент имеет определитель 1 и потому равен одному из элементов . Но тогда .

12. Конечные группы перемещений плоскости.


Теорема 13.

Пусть подгруппа, состоящая из n элементов. Тогда G совпадает с циклической группой .

Доказательство.

Будем интерпретировать как множество всевозможных поворотов плоскости на угол a вокруг некоторой точки O. Пусть любая точка отличная от О. Если , то - тождественное преобразование. Следовательно, St(A,G) - тривиальная подгруппа и по теореме 10 орбита состоит из n точек, расположенных на окружности радиуса d(O,A) с центром О. Будем проходить окружность в положительном направлении и последовательно нумеровать точки орбиты : (). Из всех углов = выберем наименьший .Если , то преобразование и переводит точку в точку , то есть g = . Но тогда, если - любая точка орбиты, то также точка орбиты и, поскольку внутри дуги нет точек орбиты, из предположения следовало бы, что угол меньше j, что невозможно. Итак, . Отсюда следует, что j=2p/n, точки орбиты - вершины правильного n -угольника Y и G совпадает с множеством всех поворотов, которые переводят Y в себя, что и требовалось.

Замечание.

Мы не исключаем случаи n = 1 или 2. В первом случае - тривиальная группа, а во втором она содержит тождественное перемещение и поворот на 180°.

Теорема 14

Всякая конечная группа G перемещений плоскости совпадает с одной из групп или ( - группа, состоящая из тождественного преобразования и отражения относительно некоторой прямой.).

Доказательство.

По теореме 11 можно считать, что все преобразования из G имеют общую неподвижную точку О так что . Если все преобразования из G имеют определитель 1 , по предыдущей теореме G совпадает с одной из циклических групп. Пусть в G имеется преобразование g с определителем (-1). По теореме 12 полный список элементов G включает n поворотов и n отражений . Повороты, входящие в G, образуют подгруппу , совпадающую с по предыдущей теореме. Пусть - прямые, относительно которых происходят отражения (зеркала из G). Заметим, что все эти прямые проходят через начало координат О. Если и g - любой элемент этой группы, то - отражение относительно прямой g(l). Значит, G - группа преобразований множества . Отсюда следует, что - диагонали правильного 2n - угольника с центром О. Поэтому - правильный n угольник и G реализуется как его группа симметрий то есть .(Случаи n = 1 и n = 2 следует рассмотреть отдельно).

  1. Лемма Бернсайда


Чтобы продвинуться дальше в изучении конечных групп преобразований установим важный результат о количестве орбит такой группы. В следующей теореме предполагается, что G - конечная группа преобразований конечного множества X. Знак модуля используется для обозначения числа элементов соответствующего множества. Обозначим через Fixg множество неподвижных точек преобразования g: .

Теорема 15.

Число N = N(X,G) орбит группы G на X дается формулой:

.

Доказательство.

Напомним, что по теореме 10 , где k порядок стабилизатора орбиты, то есть число элементов группы St(x,G). Пусть - все орбиты G и - любой элемент. Тогда и потому . Как нам известно, , если x и точки одной орбиты. Поэтому формулу можно записать в виде: (1) Для всех и определим функцию q(x,g) =. Заметим, что ; . Поэтому (1) можно переписать: , что и требовалось.

Пример

Стандартный пример применения леммы Бернсайда - перечисление объектов, обладающих определенной симметрией. Подсчитаем, например, количество правильных шестиугольников вершины которых помечены символами 1 и 2, причем одинаковыми считаются такие помеченные фигуры, которые совмещаются при некотором повороте («проблема ожерелья с 6 бусинками»). Здесь элементами множества X являются правильные шестиугольники (в некотором стандартном расположении на плоскости), у которых в вершинах расставлены символы 1 и 2. Ясно, что всего имеется =64 таких фигур. Группа является группой преобразований X и надо подсчитать число орбит. Используя лемму Бернсайда, сводим задачу к вычислению для каждого . Принадлежность некоторого помеченного шестиугольника этому множеству означает, что те его вершины, которые переходят друг в друга при повороте g имеют одинаковую метку. Если g - тождественное преобразование, то и содержит 64 элемента. Если g поворот (в ту или другую сторону) на 60°, то все вершины шестиугольника из имеют одинаковые метки и потому их количество равно 2. Аналогично, для поворота на 120° состоит из 4, а для поворота на 180° - из 8 элементов. Отсюда находим число орбит: N=1/6*(64+2*2+2*4+8) = 14. Если помеченные шестиугольники можно не только поворачивать, но и подвергать отражению, то группа преобразований увеличивается до , а число орбит, как нетрудно подсчитать, уменьшается до 13.

Другой пример применения леммы Бернсайда будет дан в следующем параграфе.




Случайные файлы

Файл
86116.rtf
18366-1.rtf
79116.rtf
183434.rtf
12610-1.rtf




Чтобы не видеть здесь видео-рекламу достаточно стать зарегистрированным пользователем.
Чтобы не видеть никакую рекламу на сайте, нужно стать VIP-пользователем.
Это можно сделать совершенно бесплатно. Читайте подробности тут.