Лекции по линейной алгебре (МГИЕМ, ФПМ) (TRANSF~2)

Посмотреть архив целиком

ГРУППЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ

(продолжение)


5.Кватернионы


Удобный способ аналитической записи перемещений в пространстве дают кватернионы , являющиеся обобщением комплексных чисел. Чтобы подчеркнуть аналогию между способами построения кватернионов из комплексных чисел и построением комплексных чисел из вещественных сравним обе конструкции.

Построение комплексных чисел Построение кватернионов

1. Комплексное число z = a + bi -это матрица вида , где . Действия над ними производятся по правилам алгебры матриц.


1. Кватернион q = z + wj - это матрица вида , где. Действия над ними производятся по правилам алгебры матриц

Отсюда вытекает, что для этих чисел имеют место те же законы действий, что и для матриц, т.е. ассоциативность умножения и закон дистрибутивности. Непосредственно проверяется коммутативность умножения комплексных чисел(но не кватернионов!)

2. Число вида a + 0i можно отождествить с вещественным числом a и таким образом .

2. Число вида z + 0j можно отождествить с комплексным числом z и таким образом .

  1. Модулем числа z называется вещественное число =., = 0 Û z =0

  1. Модулем числа q называется вещественное число= .

4. Число = a - bi называется сопряженным к числу a + bi . Легко проверить, что число сопряженное с произведением равно произведению сопряженных чисел. Заметим еще , что = . Отсюда вытекает, что всякое ненулевое комплексное число z имеет обратное .

4. Число = - wj называется сопряженным к числу z + wj Легко проверить, что число сопряженное с произведением равно произведению сопряженных чисел в обратном порядке. Заметим еще , что . Отсюда вытекает, что всякий ненулевой кватернион имеет обратный , причем

Обратное число определено однозначно так как ему отвечает (однозначно определенная !) обратная матрица.


5. Действия над комплексными числами, записанными в алгебраической форме производятся по обычным правилам алгебры с учетом того, что . Таким образом, (a + bi)(c + di) = (ac-bd) + (ad - bc)i .

  1. Действия над кватернионами, записанными в виде z + wj производятся по обычным правилам алгебры с учетом того, что и jz =

Таким образом, (z + wj)(z + wj) = (zz - w) + (zw + w)j.

6. Если , число z будет вещественным. Число, для которого называется чисто мнимым; оно имеет вид bi .z = Re(z) + Im(z).

6. Если , число q будет вещественным. Число, для которого называется чисто мнимым; оно имеет вид bi + cj + d ij .Произведение ij обозначается k . q = Re(q) + Im(q).


  1. Связь с векторной алгеброй в .


В этом параграфе нам придется рассматривать одновременно несколько разных произведений. Крестом (´) будем обозначать векторное произведение в ,точкой (×) - скалярное произведение, а звездочка (*) будет использована для умножения кватернионов. Пусть q =bi + cj +dk - чисто мнимый кватернион. Пользуясь формулами предыдущего параграфа, нетрудно подсчитать, что , ij = -ji = k, jk = -kj = i, ki = - ik = j. Если кватернионам i , j ,k поставить в соответствие правый ортонормированный базис (i, j, k) пространства, то чисто мнимый кватернион q = bi + cj + dk можно интерпретировать как вектор в пространстве и мы видим, что умножение двух чисто мнимых кватернионов сводится к операциям векторного и скалярного умножения в : q*r = -q×r + q´r . Отсюда следует, что q*r +r*q =-2q×r - вещественное число, а q*r - r*q =2 q´r - чисто мнимое число.

Следствие

Пусть p и q - мнимые части кватернионов P и Q соответственно. Кватернионы P и Q коммутируют (то есть P*Q = Q*P ) тогда и только тогда, когда векторы p и q коллинеарны.

В самом деле, поскольку вещественные числа коммутируют с любым кватернионом, P*Q = Q*P p*q = q*p то есть -p×q + p´q = -q×p + q´p p´q = q´p p´q =0.

Используя кватернионы можно вывести некоторые свойства векторного произведения.

Теорема 5.

  1. Для любых трех векторов p , q , r имеет место равенство (p´q) ´r + (q´r) ´p + (r´p) ´q =0 (Тождество Якоби)

  2. (p´q) ´r = (r×p)q - (q×r)p



Доказательство.

Поскольку q´r = q*r + q×r, имеем: (p´q) ´r=(p´q)*r +(p´q)×r = (p*q) *r + (p×q)r + (p´q)×r ; последнее слагаемое - смешанное произведение (pqr). Производя круговую перестановку, получим: (q´r)´p = (q*r)*p + (q×r)p + (pqr).Сложим эти формулы и учтем ассоциативность умножения кватернионов: (p´q) ´r + (q´r)´p = (p*(q*r)) + (q*r)*p) + (p×q)r + (q×r)p + 2(pqr). (1) Заменяя обратно q*r = - q×r + q´r, преобразуем первую скобку A = -2 (q×r)p + [p*(q´r) + (q´r)*p]. В квадратной скобке стоит произведение чисто мнимых кватернионов и потому она будет вещественным числом. Учитывая, что левая часть формулы (1) - чисто мнимое число, получаем окончательно: (p´q) ´r + (q´r)´p = (p×q)r - (q×r)p. Производя круговые перестановки, получаем 2 аналогичных равенства:

(q´r) ´p + (r´p)´q = (q×r)p - (r×p)q (2)

(r´p) ´q + (p´q)´r = (r×p)q - (p×q)r. Складывая все 3 равенства, получаем тождество Якоби: (p´q) ´r + (q´r) ´p + (r´p) ´q =0 Вычитая из этого тождества равенство (2) , получим: (p´q) ´r = (r×p)q - (q×r)p.

  1. Связь с перемещениями в .

Пусть p - чисто мнимый кватернион, а s¹0 - любой кватернион. Пусть q = . Тогда . Учитывая, что и , получаем , то есть этот кватернион чисто мнимый. Таким образом возникает отображение : .Заметим, что Поскольку , - линейный оператор, сохраняющий скалярное произведение.

Теорема 6.

Det() = 1.

Доказательство.

Пусть e = (i,j,k). Тогда = () и Det() равен определителю этой матрицы то есть смешанному произведению ее столбцов . Имеем:

= +. Второе слагаемое равно 0 так как =0, а первое преобразуется следующим образом: = . Поэтому, ()==1.

Как нам известно, ортогональная матрица с определителем 1 задает поворот в . Вектор v параллельный оси вращения удовлетворяет условию ( v )=v Интерпретируя v как чисто мнимый кватернион, заметим, что условие означает, что v и s коммутируют. Значит, если Im(s) ¹0, v = lIm(s).Подсчитаем теперь угол поворота j. Пусть s = a + v, где v¹0. Пусть вектор p ортогонален оси вращения v. Тогда v*p =v´p .Имеем: = (a - v) p(a + v) = + 2ap´v - (v´p)´v. Используя формулы предыдущего параграфа, получаем: (v´p)´v = . Итак, = () Второе слагаемое в скобке можно записать как . Значит, cosj = , sinj =.Если определить угол y = arccos(), то j = 2y +2pn. Таким образом, поворот на уголвокруг оси, заданной единичным вектором n задается формулой , где s = cos(j/2) + n sin(j/2). Композиция двух поворотов , заданных кватернионами s и t = cos(a/2) + m sin(a/2) задается формулой и, следовательно, равна . Находим: s*t = cos(j/2) cos(a/2)-(n×m) sin(j/2) sin(a/2) + n sin(j/2) cos(a/2) + m cos(j/2) sin(a/2) + (n´m) sin(j/2) sin(a/2). Вещественная часть этого кватерниона равна косинусу половины угла поворота, а мнимая часть определяет направление оси вращения.

Преобразование является зеркальным поворотом. Особо отметим случай вещественного s . В этом случае оно имеет вид: (зеркальный поворот на 180 градусов) и является центральной симметрией. Обозначим его буквой Z и отметим, что оно перестановочно с любым оператором.

Переходя к перемещениям мы видим, что формула , где как и выше s = cos(j/2) + n sin(j/2) задает поворот на угол j вокруг оси, заданной единичным вектором n и точкой , а та же формула со знаком (-) задает зеркальный поворот.

  1. Перемещение как произведение отражений.

Теорема 7

  1. Всякое ортогональное преобразование n- мерного векторного пространства можно представить в виде композиции не более чем n отражений.

  2. Всякое перемещение n - мерного точечного пространства можно представить в виде композиции не более чем (n+1) отражений.

Доказательство.

Условимся, что произведение пустого множества преобразований является тождественным отображением. Приняв это соглашение, мы видим, что при n = 1 первое утверждение очевидно. При n = 2 для доказательства того же утверждения достаточно заметить, что композиция двух отражений относительно осей, составляющих угол a/2, будет вращением на угол a. Таким же образом пространственное вращение представляется в виде композиции двух отражений относительно плоскостей, проходящих через ось вращения. Наконец, зеркальный поворот требует еще одного дополнительного отражения относительно плоскости перпендикулярной оси.


Случайные файлы

Файл
22293-1.rtf
108975.rtf
124605.rtf
I.doc
138752.rtf




Чтобы не видеть здесь видео-рекламу достаточно стать зарегистрированным пользователем.
Чтобы не видеть никакую рекламу на сайте, нужно стать VIP-пользователем.
Это можно сделать совершенно бесплатно. Читайте подробности тут.