Лекции по Математическому анализу (3-3)

Посмотреть архив целиком


Непрерывность и арифметические операции

Пусть и непрерывна в т. х0 , тогда справедливо:

  1. Сумма этих ф-ий непрерывна в т. х0 ;

- непрерывна в точке х0

2. Произведение этих ф-ий непрерывно в т. х0

- непрерывна в точке х0

3. Отношение этих функций непрерывно в тех точках, в которых знаменатель отличен от нуля, т.е. если знаменатель 0.


Доказательство:


Непрерывность сложной ф-ии.

Пусть:

  1. Ф-ия - непрерывна в т. y0 .

  2. Ф-ия - непрерывна в т. х0 .


тогда сложная ф-ия - непрерывна в т. х0 .

Доказательство:

А).


Б).

из А) и Б) следует:


Sl.


Непрерывность ф-ии на множестве.

Df. Ф-ия непрерывна на множестве Х , если она непрервна в каждой точке этого меожества.

Непрерывность обратной ф-ии:

Пусть - непрерывна и строго монотонна на промежуте Х , тогда справедливо:

  1. *****

  2. На промежутке Y существует непрерыная обратная ф-ия .

  3. Характер монотонности обратной ф-ии такой же как и прямой.

Непрерывность элементарной ф-ии:

  1. **********

  2. Доказательство непрерывности основной элементарной ф-ии tg и ctg , следует из свойств непрерыности элементарных ф-ий.

  3. Непрерывность log, arcsin, arccos, arstg следует из определения непрерывности обратной ф-ии.

Df Элементарные ф-ии, полученные из основных элементарных ф-ий с помощью арифметических операций, взятых в конечном числе,********


Характеристика точек разрыва ф-ии.

1. Точка устранимого разрыва.

D(f) т. х0 называется точкой устранимого разрыва ф-ии , если она не определена в этой точке, но имеет конечный предел.


Ф-ию можно сделать непрерывной в этой точке, доопределив ей значение в этой точке равным пределом.


2. Точка разрыва первого рода.

D(f) х0 – точка разрыва первого рода, если существует конечный левосторонний и правосторонний предел не равные между собой.

Разницу (b-a)называют скачком ф-ии в т. х0


3. Точка разрыва второго рода.

*********************************


Односторонняя непрерывность ф-ии.

  1. Если в D(f)1 непрерывности предел заменить односторонним пределом, то получим определение односторонней непрерывности ф-ии.

  2. Ф-ия называется непрерывной в точке х0 справа, если правосторонний предел совпадает со значением ф-ии.

  3. Ф-ия называется непрерывной в точке х0 слева, есди левосторонний предел совпадает со значением ф-ии.

Например:

- исследуем предел ф-ии справа и слева:

ф-ия непрепывна в точке х=0.

Для непрерывности в точке х0 необходимо и достаточно, чтобы она была непрерывна слева и справа в этой точке.


Свойства ф-й, непрерывных на отрезке

Ф-ия называется непрерывной на отрезке [a,b], если она непрерывна на интервале(a,b) и в т. а непрерывна справа а в т. b – слева.

Т1: Ф-ия , непрерывная на [a,b], ограничена на этом отрезке.

- непрерывная на [a,b]

D(f) : число М называется наибольшим значением ф-ии на отрезке [a,b], если существует такое число .

D(f) :точка называется наименьшим значекнием ф-ии на [a,b], если

Т2 : ф-ия , непрерывная на [a,b],имеет на [a,b] наибольшее и наименьшее значения.

Т3 : *************


Sl1 : (f) ф-ии, непрерывной на отрезке, является отрезок

Sl2 (Т3): ф-ия, непрерывная на отрезке [a,b], имеющая различные по знаку значения, на его границах обязательно обращается в ноль, хотя-бы в одной точке этого отрезка.


*******************************************



Дифференциальное счисление.

Ф-ия одной переменной.

1. Задачи, приводящие к понятию производной.

3.1. Задача о вычислении скорости точки, движущейся вдоль прямой.

Пусть точка движется вдоль прямой х.

****************************************** - l-единичный вектор, задающий направление вдоль прямой.

3.2 Построение касательной к кривой с уравнением в т. х0 .

********************

Задачи, различные по смыслу, из разных областей науки, свелись к вычислению одного и того же предела. В таких случаях в математике абстрагируются от крнкретных задач и изучают отдельно предел ф-й.


Определение призводной ф-ии в точке.

Обозначение:

Df1 Производной ф-ии