Лекции по Математическому анализу (6-6)

Посмотреть архив целиком


Интегрирование с помощью подстановки.

Пусть подынтегральная ф-ия в интеграле непрерывна на Х и ф-ия дифф. на промежутке Т и имеет на нем обратную ф-ию с на промежутке Х , тогда справедливо:


Алгоритм интегрирования подстановкой.

  1. Для интеграла подынтегральная ф-ия такая, что является табличным или сводится к нему так, что легко находится .

  2. Нах. обратную ф-ию и подставляем в , которая и будет первообразной для исходного интеграла.


Алгоритм:

  1. Часть подынтегрального выражения вводится под знак дифференциала и полученное выражение под знаком дифференциала обозначается как новая переменная.

  2. В подынтегральной ф-ии делается замена переменной на новую, находится от новой переменной.

  3. В возвращ. к старой переменной.


Интегрирование по частям.

Интегрирую выражение любого дифференциала произведения, получим:


Пример:

Рекомендации:

В интегралах с подынтегральным выражением вида:

(Pn –многочлен степени n )

Pn принимается за u


В интегралах с подынтегральным выражением вида:

за u

Интегрирование с подстановкой выражений вида после двукратного интегрирования по частям приводится к линейному уравнению относительно вычисляемого интеграла.


Интегрирование дробно-рациональных выражений

Df Дробно-рациональная ф-ия - отношение 2х многочленов - многочлены степени n и m соответственно.

Рациональная дробь правильная, если степень числителя строго меньше степени знаменателя, обратно - неправильная.


Zm Неправильная рациональная дробь путем выделения целой части приводится к сумме многочлена и правильной рациональной дроби; многочлен называется целой частью неправильной дроби.


Простейшие (элементарные) рациональные дроби и их применение.

К простым рациональным дробям относятся рациональные дроби типов:

- вещественные постоянные

2.- вещественные постоянные,

3.

4.



Интегрирование 1го типа:


Интегрирование 2го типа:


Интегрирование 3го типа:

проводится в два этапа:

1. В числителе выделяется дифференциал знаменателя:

2. Выделение полного квадрата в знаменателе второго интеграла.


Интегрирование 4го типа:

1. Выделяем в числителе *** знаменателя:

Выделяем в знаменателе 2го интеграла ф-лы квадрата: