Лекции (1-18) по мат. анализу 1 семестр (matan3)

Посмотреть архив целиком

Л

По всем вопросам и по дальнейшему пополнению лекций обращаться на ящик

van_mo_mail@mtu-net.ru или на сотовый:

8-901-7271056 спросить Ваню

екция №10

Ведущая: Голубева Зоя Николаевна

Дата: вторник, 17 октября 2000 г.

Тема: «Коши, производные»


Теорема: (Коши о промежуточных значениях)

Пусть функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a,b] и на концах принимает значение разные значения.

f(a)=A f(b)=B AB. Тогда С лежащею между А и В, х0(a,b): f(x0)=C. Другими словами нет точек которые не являются значением отрезка.

Доказательство: AC(A,B) (x)=f(x)-C.

Эта функция непрерывна на отрезке [a,b]

(a)=f(a)-c=A-C<0 по теореме Коши №11 x0(a,b):(x0), то естьf(x0)-C=0 f(x0)=c

(b)=f(b)-c=B-C>0

Замечание: Условие непрерывности нельзя отбросить

[c,d][A,B]

[c,d)E(f)



Теорема: (о существование и непрерывности обратной функции) «Без доказательства»

Пусть на множестве D задана непрерывная возрастающая или убывающая функция y=f(x). Тогда на множестве её значений Е определена обратная ей функция x=g(y), которая непрерывна и возрастает или убывает на множестве Е.










Производная функции. Х

Пусть y=f(x) определена в O(x0)

x=x-x0 – называется приращением аргумента в т х0 Х

Х Х

Разность значений функций.

y=f(x0)=f(x)-f(x0)=f(x0+x)-f(x0) – называется приращением функции в точки х0. Через эти обозначения можно определить непрерывность функций:

f(x) – неопределенна в точки х0, если она определена в O(x0) и lim y=0

x0

lim[f(x)-f(x0)]=lim[f(x)-f(x0)]0 lim[f(x)]=f(x0)]

x-x0 xx xx

Определение непрерывной функции в точки приращения:

f(x) – неопределенна в точки х0, если она определена в O(x0) и lim y=0

x0


Определение: (производной функции)

Пусть y=f(x) определена в О(х0) и lim[∆y/∆x]<, тогда этот предел называется производной функции f(x) в

х0

точке х0.

Обозначения:

f’(x0), y’(x0), dy/dx, df(x0)/dx=df(x)/d(x)

То есть f’(x0) по определению = lim[f(x)-f(x0)]/(x-x0)limy/xdy/dx

x0 x0

Физический смысл производной.

Рассмотрим прямолинейное движение материальной точки:


S


x

x0 x

t0 t

s(t)x(t); s=x(t)=x(t)-x(t0)

s/t=[x(t)-x(t0)]/[t-t0]=vcp. Если t0

тогда vcpvмнг

lim s/t=lim[x(t)-x(t0)]/[t-t0]=vмнг

t0 tt








Геометрический смысл производной.

y’(x0)=limy/x – производная функции у(х) и в точке х0.

х0

y=y(x0+x)-y(x0)

y’(x0)=tgкас где кас – угол наклона в точке (х0;y(x0)) к оси


Основные теоремы о производной.

Теорема: Пусть f’(x) и g’(x), тогда [f(x)+g(x)]’= f’(x)+g’(x)

Доказательство: следует непосредственно из определения производной и свойств предела суммы.

Теорема: (связи между непрерывностью функции и существование производной)

Пусть f’(x) функция f(x) – непрерывна.

Доказательство: Пусть f(x) определена в О(х0) и lim[f(x)-f(x0)]/(x-x0)=f’(x0)< [f(x)-f(x0)]/(x-x0)=f(x0)+(x-x0)2

xx

[f(x)-f(x0)]=f’(x0)(x-x0)+(x-x0)(x-x0) при хх0

lin[f(x)-f(x0)]=limf’(x0)(x-x0)+lim(x-x0)(x-x0)=0+0=0linf(x)=f(x0) то есть f(x) непрерывна в точки х0

xx xx xx xx

Замечание: обратное утверждение неверно, из-за непрерывности функции в точке х0 не следует существование функции в этой точки.

y=х

Непрерывна в точки х0=0

limx, x0

x+0

lim|x|= =0

lim(-x), x<0

x-0

y(0)=0

limy(x)=limy(x)=y(0)=0 limy(x)=y(0)=0 функция непрерывна

x+0 x-0 x0

limy/x-не существует, действительно х+0y(x)=x

x0

lim[y(x)-y(0)]/x=lim(x-0)/x=1

x+0 x+0

x-0y(x)=-x

lim[y(0)-y(x)]/x=lim(0-x)/x=-1 то есть limy/x – не существует

x-0 x-0 х0

Теорема: Пусть u’(x) и v’(x), тогда (uv)’=uv+vu

Доказательство: Зададим приращение х в точки х. Рассмотрим: lim[∆(uv)]/x=

x0

lim[1/∆x][u(x+∆x)v(x+∆x)-u(x)v(x)]=lim[1/∆x][ u(x+∆x)v(x+∆x)-u(x)v(x+∆x)+u(x)v(x+∆x)-u(x)v(x)=

x0 x0

lim[(v(x+x))(u(x+x)-u(x))]/x+lim[(u(x))(v(x+x)-v(x))]/x=v(x)u’(x)+u(x)v’(x)

x0 x0

Теорема: (о произведение частного)

Пусть u’(x) и v’(x), v’(x)0 в О(х), тогда (u/v)’=[uv-vu]/v2

Доказательство: (u/v)’=[u(1/v)]’=[u’(1/v)]+[(1/v)’u]. Функция u(x) и v(x) –непрерывны в точки х0.

lim[(1/v)/x]=lim[1/x][1/(v(x+x))-1/v(x)]=lim[[v(x)-v(x-x)]/[xv(x)x(x+x)]]-[v’(x)/v2(x)]

x0 x0 ∆x0

(u/v)’=u’(1/v)-(uv)’/v2=[uv-uv’]/v2 что и требовалось доказать

Таблица производных

y=sinx

(sinx)’=lim[sin(x+x)-sinx]/x=lim[2sin(x/2)cos((2x+x)/2)]/x=lim[2(x/2)cos(x+(x/2))]/x=cosx

x0 x0

(sinx)’=cosx

где sin(x)

(sin(x))’=cos(x)

y=cos(x)

(cos(x))’=lim[cos(x+x)-cos(x)]/x=lim[-2sin(x/2)sin((2x+x)/2)]/x=lim[-2(x/2)sin(x+(x/2))]/x=-sinx

x0 x0 x0

(cos(x))’=-sinx

где cosx

(cos(x))’=-sin(x)

y=tg(x)

(tg(x))’=(sin(x)/cos(x))’=[(sin(x))’cos(x)-(cos(x))’sin(x)]/cos2x=[cos2x+sin2x]/cos2x=1/cos2x

(tg(x))’=1/cos2x

где tg(x)

(tg(x))’=1/cos2x

Лекция №11

Ведущая: Голубева Зоя Николаевна

Дата: вторник, 24 октября 2000 г.

Тема: «Производные, дифференциал»

y=xn

y’(x)=lim[(x+x)n-xn]/x=1=lim[xn(1+(x/x))-1]/x=/x/x0,x0\=lim[xn(∆x/x)n]/x=nxn-1

x0 x0 x0

(xn)’=nxn-1


y=x^3

y’=3x^2




Рассмотрим когда х=0 y’(0)=lim(x)n/x=lim(x)n-1=/n>1\=0 если n=1/0,n>1;1,n=1\

x0 ∆x0

Дифференциал функции.

Определение: Пусть y=f(x) определена в некоторой О(х0) – она называется дифференцируемой в точке х0, если её приращение в этой точки представимо в виде:

y=f(x0)=Ax+(x)x)1

(0)=0 A=const

Определение: линейная х часть приращение дифференцируемой функции называется дифференциалом функции в точке х0:

dy=df(x0)Ax

Теорема: Если функция дифференцируема в точке х0 то A=f’(x0), то она имеет производную в этой точке, то A=f’(x0); наоборот если функция имеет производную в этой точке, то она дифференцируема в этой точке – называется дифференциалом.

Доказательство: Пусть y=f(x) дифференцируема в точке х0, то есть в некоторой О(х0) справедливо равенство f(x0)=Ax+(x)x1; (0)=0. Поделим обе части этого равенства на х и приведём к пределу при ∆х0:

lim(∆f(x0))/∆x=lim(A+(x))=A. Этот предел существует, меньше , тогда по определению этот предел есть

x0 ∆x0

производная.

Доказательство: (в обратную сторону) Пусть в точке х0 f’(x0)(<) – это означает, что f(x) определена в некоторой О(х0) и lim(∆f(x0))/∆x=f’(x0) по определению предела следует, что в некоторой О(х0)

x0

(∆f(x0))/∆x=(х)+f’(x0) при х0 f(x0)=f’(x0)+(x)x, так как lim(x)=0, то в точке х0 y (x) может

х0

быть лишь устранимым разрывом . Устраним его, определим и доопределим:

(0)=0, тогда ∆f(x0)=f’(x0)∆x+(x)x A=f’(x0) из установленного соответствия получим выражения для дифференцируемой функции df(x0)=f’(x0)x

Следствие: по определению полагают дифференциал независимой переменной равной её приращению

dx=x (х - независимая переменная)

df(x)=f’(x)dx

f(x)=x – вычислим дифференциал f’(x)=1 df(x)=dx=f(x)x=1x

Замечание: дифференциал функции зависит от двух переменных – от самой точки х и от ей приращения

y=cosx x0=/2 x=/180

y’=-sinx y’(/2)=-sin(/2)=-1

dy(/2)=-1x=-1/180=-/180

Теорема: Пусть y=f(x) дифференцируема в точке х0, а z=g(y) дифференцируема в точке у0=f(x0), тогда сложная функция z=g(f(x) - дифференцируема в точке х0 и z’(x0)=g’(f)f’(x)

Доказательство: (1) z=g’(y0)y+(y)y

(2) y=f(x0)x+(x)x (0)=0 (0)=0

Подставим в первое равенство второе:

z=g’(y0)f(x0)x+g’(y0)(x)x+[f’(x0)+(x)x][f’(x0)x+(x0x]

limz/x=limg’(x0)f’(x0)+limg’(x0)(x)+lim (f’(x0)+(x)x)[f’(x0)+x] z’(x0)=g’(y0)f’(x0) что и требовалось

x0 x0 x0 x0

доказать.

Теорема: Пусть функция y=f(x) возрастает (убывает) в О(х0) и дифференцируема в точке х0. Тогда обратная у ней функция x=g(y) дифференцируема в точки y0=f(x0), причём g’(y0)=1/f(x0)

Доказательство: из дифференцируемой функции f(x) в точке х0 и из монотонности следует существование обратной функции в точке х0 и её непрерывность lim[y(y0)]/y= y0, то у0 в силу строгой

у0 монотонности функции и обратной =

к ней следует х0

=limx/y=lim1 /(∆y/∆x)= в силу непрерывности следует =1/[limy/x]=1/[limf(x0)/x]=1/f(x0) f(x0)0

y0 y0 у0, то х0 и наоборот x0 x0


y=ax

y’(x)=lim[ax+x-ax]/x=lim[ax(ax-1)]/x=lim[ax(exlna-1)]/x=/x0, то xlna0\=lim[axxlna]/x=axlna

x0 x0 x0 x0

y’=axlna, частный случай y=ex (ex)’=ex


y=x^2

y’=x^2 lnx





y=lnx

y’=lim[ln(x+x)-lnx]/x=lim[ln((x+x)/x)]/x=lim[ln(1+x/x)]/x=/x/x0 при x0\=lim(x/x)/x=1/x

x0 x0 x0 x0

(lnx)’=1/x

y=lnx

y’=1/x





y=logax=lnx/lna (logax)’=1/xlna


y=lgx

y’=1/xln10






y=arcsinx обратная функция x=siny x[-1;1] y[-/2;/2]

(arcsinx)’x=x0=1/(siny)’y0=y=1/cosyy0=y=

y[-/2;/2], cosy0 cosy>0, если y[-/2;/2] то есть x1

=1/(1-sin2y)y=y0=1/(1-(sinarccosx)2)x=x0=1/(1-x02)

(arcsinx)’=1/(1-x2)


y=arcsinx

y’=1/(1-x^2)








y=acrcosx, обратная x=cosy x[-1;1] y[0;]

(arcosx)’=1/(cosy)’y=y0=1/-sinyy=y0=-1/(1-cos2y)y=y0=-1/(1-(cosarccosy)2)x=x0=-1/(1-x02)

(arcosx)’=-1/(1-x2)


y=arccosx

y’=--1/(1-x^2)








y=arctgx обратная функция x=tgy y(-/2;/2)

(arctgy)’=1/(tgy)’=cos2y= / 1+tg2y=1/cos2y \ =1/(1+x2)

(arctgy)’=1/(1+x2)

(arcctgy)’=-1/(1+x2)



y=arctgsx

y’=-1/ (1+x^2)



y=arcctgx

y’=--1/ (1+x^2)




Гиперболические функции.

chx=(ex+e-x)/2

shx=(ex-e-x)/2

chx2-shx2=1

chx2+shx2=ch2x

ch(-x)=chx

sh(-x)=-shx











chx shx


cthx=chx/shx




thx=shx/chx







(chx)’=sh(x)

(shx)’=ch(x)

(thx)=1














Лекция №12

Ведущая: Голубева Зоя Николаевна

Дата: среда, 25 октября 2000 г.

Тема: «Линеаризация»


Геометрический смысл дифференциала функции и уравнение касательной.


f’(x0)=tg

уравнение прямой : Y=kx+b

y0=f(x0)=kx0+b

k-угловой коэффициент прямой

k=tg=f’(x0)

Y=f(x0)+f(x0)-f’(x0)x0

b=f(x0)-kx0

Y=f(x)+f’(x0)(x-x0)



f(x0)=f’(x0)x+(x)x при х0 в некоторой

O(x0) f(x0)=f’(x0)+f’(x0)x+(x)x при х0

Y1=f(x0)+f’(x0)(x-x0)a=f’(x0)+f’(x0)x

df(x0)=f’(x0)x

Геометрический смысл дифференциала:

df(x0) – это приращение ординаты при движение по касательной проведённой к графику функции в точки (х0;f(x0).

Замечание: Часто говорят о касательной проведённой в точке х0.


Линеаризация функции.

Определение: Замена функции в окрестности данной точки линейной функции называется линеаризацией функции, точнее в О(х0) заменяется отрезком касательной в точке х0.

(*) f(x)-Y=(x)x-o(x)

Если в равенстве (*) отбросить правую часть, то мы

получим приближённое равенство:

f(x)f(x0)+f’(x0)(x-x0), xx0

Y=f(x0)+f’(x0)(x-x0) – уравнение касательной в точке х0

Формула получена из определения дифференциала в точке х0 функции

f(x)=f(x0)+f(x0)x+ox при х0 – называется критерием дифференциальности функции в точке х0.

Приближенные вычисления и оценка погрешности вычисления.

Можно приближенно вычислять значение функции в точках близких к заданной точки.

38,001=1

х0=8

х=8,000

f(x)=3x

f(x0)=f(8)=2

Проведём линеаризацию выбранного корня.

f’(x)х=8=(3x)’x=8=1/3x-2/3x=8=1/12

3x2+1/12(x-8), x8

3x2+0,001/12

Yкас=2+1/12(x-8)

3x=2+1/12(x-8)+o(x-8) при х8

Погрешности вычисления.

f(x)-f(x0)=df(x0)+o(x-x0) при хх0

f(x0)df(x0), xx0

1=f(x0)df(x0)

f(x)=10x в точке х0=4, если х=0,001 х=40,001

104=10423

f’(x)=10xln10; f’(4)=104ln10=23000; ln102,2

∆230000,001=23

Изучение поведения функции при помощи первой производной.

Слева от М0 tg >0; Справа от М0 tg <0

tg f’(x)>0 слева от М0

tg f’(x)<0 справа от М0


Теорема: Пусть y=f(x) дифференцируема x(a,b) и f’(x)>0 (f’(x)<0), тогда f(x) возрастает (убывает) на (а,b)


a( |x1 |x2 )b


x1,x2(a,b) x12

Надо доказать: f(x1)<f(x2)

Применим теорему Лангранджа на отрезке (х1,x2)Теорема.

f(x2)-f(x1)=f’(c)(x2-x1) где c(x1,x2)

f(x2)-f(x1)>0 f(x2)>f(x1)

Экстремумы функции.

Можно указать О(х1) в которой все значения функции

f(x)<f(x1) b и О11) анологично для точки х2

f(x)>f(x1) b и О21). Значенгие функции в точке М1, М3 и М5

max; M2 и М4min – такие точки назавыются точкками

экстремума или точками локального max и min.

Определение: (точки экстремума)

Пусть функия f(x) определена в некоторой О(х0) и f(x)>f(x0) в

О0) или f(x)<f(x0) в этом случае точка х0 – называется точкой локального max (min).

Замечание:

f(x)f(x1) в О11)

f(x)f(x2) в О22)

говорят, что точки х1 и х2 точки не строгого локального

экстремума.





Теорема: (Ферма) (о необходимости условия экстремума дифференцируемой функции)

Пусть y=f(x) дифференцируема в точки х0 и точка х0 – точка экстремума, тогда f(x0)=0

Доказательсто: Заметим, что х0 точка экстремума, то в её окрестности f(x) – f(x0) сохраняет знак. Запишем условие f(x0)=f(x)-f(x0)(x-x0)+o(x-x0)

f(x)-f(x0)=(x-x0)[f(x0)+(x-x0)] то при х – достаточно близких к х0 знак выражения стоящего в квадратных скобках совпадает со знаком f’(x0)0 (x-x0) – меняет знак при переходе черех точку х0 f’(x0)=0


Лекция №13

Ведущая: Голубева Зоя Николаевна

Дата: вторник, 31 октября 2000 г.

Тема: «Экстремумы»


Замечание:

Обратное утверждение неверно. Из-за того, что произведение в данной точки равно нулю, не следует, что это экстремум.

y=(x-1)3

y’=3(x-1)2

y’(1)=0

x0=1

xO-(1)f(x)<0

xO+(1)f(x)<0

x=1 – не точка экстремума.


Теорема (Ролля):

Пусть функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a,b] и дифференцируема на (a,b). Кроме того на концах интервала она принемает равные значения f(a)=f(b), тогда с(a,b): f(c)=0

Доказательство: Така как функция непрерывна на отрезке [a,b], то по второй теореме Вейштрасса есть наибольшее и наименьшее значение (m,M), если m=M, то f(x)const (x[a,b]) (const)’=0.

Пусть m<M, тогда либо m, либо М отлична от значений на концах отрезка. Пусть например Mf(a): c(a,b):f(c)=M, то есть точка с точка экстремума максимума следовательно по теореме Ферма f’(c)=0

Замечание: условие дифференцируемсти нельзя отбросить.

непрерывна на отрезке [a,b]









Геометрический смысл.

f’(x)=0, то касательная  оси х. Теорема не утверждает, что это единственная точка.

Теорема Лангранджа:

Пусть функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a,b] и дифференцируема на отрезке (а,b), то с(a,b): f(b)-f(a)=f(c)(b-a)

Доказательство:

F(x)=f(x)+x где - пока неизвестное число.

F(x) – непрерывна на отрезке [a,b] как сумма непрерывной функции

f(x) – дифференцируема на отрезке [a,b] как сумма дифференцируемой функции.

Выберем число , так чтобы на отрезке [a,b] F(x) принимало равное значение.

F(a)=f(a)+a

F(b)=f(b)+b

F(a)=F(b) f(a)-f(b)=(a-b) =[f(b)-f(a)]/[b-a]

F(x) – удовлетворяет условию теоремы Роллера на отрезке [a,b] c(a,b):F’(c)=0, то есть F’(x)=f’(x)+

0=f’(c)+ f’(c)=-=[f(b)-f(a)]/[b-a]

То есть на кривой которая наклонена

к оси х под таким же углом как и секущая

[f(b)-f(a)]/[b-a]=tg=f(x) c(a,b)

Замечание:

Часто точку с можно представить в

нужном виде:

с=х0+х

0<(c-x0)/(x-x0)= <1

c-x0=(x-x0)

c=x0+(x-x0)1

f(x)-f(x0)=f’(x0+x)(x-x0)

0<<1

f(x0)=f’(x0+x)x

Теорема: (о необходимых и достаточных условиях экстремума по первой производной)

Пусть y=f(x) непрерывна на отрезке [a,b] и дифференцируема в О0). Если f’(x) меняет знак при переходе через точку х0, то точка х0 – точка экстремума. Если меняет знак:

с + на – то это точка максимума

с – на + то это точка минимума

Доказательство: х1 О-0) на [x1,x0]; c1(x1,x0) f(x0)-f(x1)=f’(c1)(x0-x1) f(x0)>f(x1) x1O-(x0)

 х2 О+0) на [x0,x2]; c2(x0,x2) f(x2)-f(x0)=f’(c2)(x2-x0) f(x2)<f(x0) x2O+(x0)

f(x0)>f(x) xO(x0) точка х точка максимума.

Если в точке х0 существует производная то она обязательно равна 0 в силе теоремы Ферма. Но могут быть точки в которых f(x) существует, а f’(x) не существует.

Принцип решения подобных задач:

Условие: найти наибольшее и наименьшее значение функции не отрезке [a,b].

Ход решения:

  1. Находим точки в которых производная либо равна 0 либо не существует f’(x)=0 или f’(x) x1, xn

  2. Вычисляем знак функции на концах отрезка и в этих точках f(a), f(b), f(x1)….f(xn)

  3. Выбираем наибольшее и наименьшее mf(x)<M

Определение: точки в которых функция определена, а производная либо равняется нулю, либо не существует называют критическими точками.

Производная функции высшего порядка.

Существует f’(x) x(a,b), тогда эта производная сама является функцией х (х)=f’(x) и можно ставить о дифференцируемости этой функции.

Существует ’(x) x(a,b), то мы называем её второй производной ’(x)f’’(x)


Лекция №14

Ведущая: Голубева Зоя Николаевна

Дата: среда, 8 ноября 2000 г.

Тема: Производная функции высшего порядка.


f(n)=def=(f(n-1)(x))’


’’’ – [dnf(x)]/dxn=(d/dx)([dn-1f(x)]/dxn)


Теорема: (Коши – обобщение теоремы Лангранджа1)

Пусть функция f(x) и g(x) непрерывны на отрезке [a,b], дифференцируема на интервале (a,b) и g’(x)0, x(a,b), тогда с (a,b) такая, что [f(b)-f(a)]/[g(b)-g(a)]=f’’(c)/g’(c)

Доказательство: Отметим прежде всего, что g(b)g(a), так как по теореме Лангранджа1 для функции g(x)

g(b)-g(a)=g’(c1)II (b-a)III0 (c1(a,b)) Рассмотрим вспомогательную функцию

F(x)=f(x)-g(X) где -неизвестное число

F(x) – непрерывна на отрезке [a,b] и дифференцируема на интервале (a,b)

Потребуем F(a)=f(b)

F(b)=f(b)-g(b)

---

F(a)=f(a)-g(a)

___________________

0=f(b)-f(a)-(g(b)-g(a)) =[f(b)-f(a)]/[g(b)-g(a)]. Получим, что F(x) удовлетворяет условию теоремы Ролля4

с(a,b):F’(c)=0, то есть F’(c)=f’(c)-g’(c) =f’(c)/g’(c)=[f(b)-f(a)]/[g(b)-g(a)], что и требовалось доказать.


Правила Лопиталя.

Это правило в случае дифференцируемости функции позволяет избавляться от неопределённостей типа 0/0 или / при вычисление пределов.

Теорема: Пусть функции f(x) и g(x) дифференцируемы в О(х0), g’(x0)0 в О0), f(x0)=g(x0)=0 и

lim f’(x)/g’(x)=k (конечный или бесконечный предел), тогда lim f(x)/g(x)=lim f’(x)/g’(x)=k

xx xx xx

Доказательство: lim f(x)/g(x)=lim [f(x)-f(x0)]/g(x)-g(x0)=lim f’(c(x))/g’(c(x))= c=c(x) лежащая между х их0 если

xx xx xx

хх0 то сх0=lim f’(x)/g’(x)=k

xx

Замечание(1): f(x0)=g(x0)=0 требование можно заменить требованием lim f(x)=0, lim g(x)=0, то есть в т х0 f(x) и

xx xx

g(x) могут иметь устранимый разрыв, действительно достаточно переопределить или доопределить f(x) и g(x) по непрерывности, так чтобы f(x0)=g(x0)=0

Замечание(2): Если f’(x0) и g’(x0), g’(x0)0, то утверждение теоремы будет:

lim f(x)/g(x)=lim f’(x)/g’(x)=lim [(x-x0)(f’(x0)+(x-x0))]/ [(x-x0)(g’(x0)+ (x-x0))]=f’(x0)/g’(x0)

xx xx xx

Теорема: (/) Пусть функции f(x) и g(x) непрерывны в О0), g'(x)0 и О0), дифференцируемы в О0) и

lim f(x)=lim g(x)=; lim f’(x)/g’(x)=k. Тогда lim f(x)/g(x)=lim f’(x)/g’(x)=k

xx xx xx xx xx

Без доказательства!

Замечание: Если функции f’(x) и g’(x) сами удовлетворяют условия теоремы то правило Лопиталя можно применить повторно:

f(x)=ex g(x)=xn x

lim ex/xn= lim ex/1!= nN lim ex/xn= lim ex/nxn-1= lim ex/[n(n-1)xn-2]=lim ex/n!=+

x+ x+ x+ x+ x+ x+

f(x)=lnx

x+

g(x)=xn


lim lnx/xn= lim (1/x)/nxn-1= lim 1/nxn=0

x+ x+ x+


Формулы Тейлора.

Определение: (многочлена Тейлора) Пусть функция y=f(x) – n – раз дифференцируема в точке х0 многочлен (полином) вида

Tn(х)=f(x0)+[f’(x0)(x-x0)]/1!+ [f’’(x0)(x-x0)2]/2!+ [fn(x0)(x-x0)]/n! называется многочлен Тейлора с центром в точке х0 или многочленом по степеням (х-х0)

Свойства многочлена Тейлора.

Теорема: (основное свойство многочлена Тейлора) Пусть функция y=f(x) – n – раз дифференцируема в точке х0 f(x)=Tn(x0); f’(x0)=Tn’(x0),…,f(n)(x0)=Tn(n)(x0)

Доказательство; (подстановкой) Tn(х)=f(x0)+[f’(x0)(x-x0)]/1!+ [f’’(x0)(x-x0)2]/2!+ [fn(x0)(x-x0)]/n! , подставим х0 получим Tn(x0)=f(x0). Продифференцируем многочлен Тейлора

Tn’(x)=f’(x0)/1!+[f’’(x0)2(x-x0)]/2!+ [f’’’(x0)3(x-x0)2]/3!+ [fn(x0)n(x-x0)n-1]/n!, подставим вместо х х0

Tn(x0)=f(x0)

Tn’’(x)=f’’(x0)/1!+[f’’’(x0)32(x-x0)]/3!+…+ [f(n)(x0)n(n-1)(x-x0)n-2]/n!

Tn’’(x)=f’’(x0)

Формула Тейлора с остаточным членом пеано.

Теорема: Пусть функция y=f(x) – n – раз дифференцируема в точке х0, тогда в О(х0) f(x)=Tn(x)+o((x-x0)n), xx0

f(x)= f(x0)+[f’(x0)(x-x0)]/1!+ [f’’(x0)(x-x0)2]/2!+ [fn(x0)(x-x0)n]/n!+0((x-x0)n)(x-x0)1

lim[f(x)-Tn(x)]/(x-x0)n=(0/0)=lim [f’(x)-Tn’(x)]/n(x-x0)n-1=(0/0)=….=lim [f(n)(x)-Tn(n)(x)]/n!=0 функция

xx xx xx

[f(x)-Tn(x)]/(x-x0)n=(х-х0)ii f(x)-Tn(x)=(x-x0)n(x-x0)=0((x-x0)n) при хх0 что и требовалось доказать.

Замечание: в случае если х0=0 формула Тейлора называется Маклорена f(x)=f(0)+[f’(0)x]/1!+ [f’’(0)x2]/2!+ [fn(0)xn]/n!+0xn при х0



1 На концах отрезка [a,b] и на концах принимает значение разных знаков

2 (x-x0)-бесконечно малое при хх0

1 x0

1 (∆x) – бесконечно малое при х0, а (∆x)х – есть ох

1 Y – ордината касательной

a – x-x0 =x

1 -погрешность вычисления.

Теорема –Если f(x) непрерывна на [a,b] дифференцируема на отрезке (а,b), то с(a,b): f(b)-f(a)=f(c)(b-a)

1 (x-x0)=x

1 Теорема – Если f(x) непрерывна на [a,b] дифференцируема на отрезке (а,b), то с(a,b): f(b)-f(a)=f(c)(b-a)

IIg’(c1)=0 по условия теоремы

III – (b-a)=0

4 - Теорема (Ролля): Пусть функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a,b] и дифференцируема на (a,b). Кроме того на концах интервала она принемает равные значения f(a)=f(b), тогда с(a,b): f(c)=0


1 0((x-x0)n)(x-x0) – остаточный член в форме пеано

ii (х-х0) – бесконечно малое при хх0


Случайные файлы

Файл
146564.rtf
Kursovik.doc
162066.rtf
144571.rtf
28221-1.rtf




Чтобы не видеть здесь видео-рекламу достаточно стать зарегистрированным пользователем.
Чтобы не видеть никакую рекламу на сайте, нужно стать VIP-пользователем.
Это можно сделать совершенно бесплатно. Читайте подробности тут.