Лекции (1-18) по мат. анализу 1 семестр (matan4)

Посмотреть архив целиком

Л

По всем вопросам и по дальнейшему пополнению лекций обращаться на ящик

van_mo_mail@mtu-net.ru или на сотовый:

8-901-7271056 спросить Ваню

екция №15

Ведущая: Голубева Зоя Николаевна

Дата: вторник, 14 ноября 2000 г.

Тема: Пять основных разложений

1)y=ex, x0=0

y(0)=1

y’(0)=ex|x=0=1

y’’(0)=ex|x=0=1

y(n)(0)=ex|x=0=1

n=1 ex=1+x+o(x),xx0

2) y=sinx, x0=0

y(0)=0

y’(0)=cos|x=0=1

y’’(0)=-sinx|x=0=0

y’’’(0)=-cosx|x=0=-1

y’’’’(0)=sinx|x=0=0

если n – чётное, то y(n)(0)=0; n=2k+1 – нечётное y(n)(0)=(-1)k


3) y=cosx, x0=0

y(0)=1

y’(0)=-sinx|x=0=0 *

y’’(0)=-cosx|x=0=-1

y’’’(0)=sinx|x=0=0

y’’’’(0)=cosx|x=0=1

если n=2k – чётное, то y(n)(0)=(-1)k; n=2k+1 – нечётное y(n)(0)=0

4) y=ln(1+x), x0=0

y(0)=ln1=0

y’(0)=1/(1+x)|x=0=1

y’’(0)=1(-1)/(x+1)2x=0=-1

y’’’(0)=(-1)(-2)/(x+1)3x=0=(-1)(-2)

y’’’’(0)= (-1)(-2)(-3)/(x+1)4x=0=(-1)(-2)(-3)

y(n)=[(-1)(-2)(-3)…(-n+1)]/(1+x)nx=0=(-1)n-1123…(n-1)=(-1)n-1(n-1)!









5) y=(1+x)p, x0=0

y(0)=1

y’(0)=p(1+x)p-1|x=0=p

y’’(0)= p(p-1)(1+x)p-2x=0=p(p-1)

y’’’(0)= p(p-1)(p-2)(1+x)p-3x=0=p(p-1)(p-2)

y(n)=p(p-1)(p-2)…(p-n+1)(1+x)p-nx=0=p(p-1)(p-2)…(p-n+1)

Если р – натуральное, то y(n)(0)=0 np+1

(либо n<p, если p-натуральное)

Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лангранджа.

Теорема: Пусть функция y=f(x) – n+1 раз дифференцируема в О(х0), тогда в некоторой Оε0)

#

где с лежит между х и xn

Доказательство: Применим теорему Коши о двух функциях к следующим функциям

(x)=f(x)-Tn(x)$

g(x)=(x-x0)n+1

(x0)=0; ’(x0)=0,…,(n)(x0)=0; (n+1)(x)=f(n+1)(x)

g’(x0)=(n+1)(x-x0)nx=0=0; g(n+1)(x)=(n+1)!

[a,b](x);(a,b)g(x);g’(x)0




Лекция №16

Ведущая: Голубева Зоя Николаевна

Дата: вторник, 21 ноября 2000 г.

Тема: Применение формулы Тейлора с остаточным членом в форме Лангранджа, Выпуклость, Вогнутость.


Применение формулы Тейлора с остаточным членом в форме Лангранджа.

Пусть функция f(x) – два раза дифференцируема в О(х0), тогда

f(x)=f(x0)+f’(x0)(x-x0)+[f’’(c)(x-x0)2]/2 где с лежит между х и х0


уравнение касательной


Если f’’(x)M xO(x0)

f(x)-n+1 – дифференцируема в О(х0)

f(x)=Tn(x)+Rn(x) в О(х0)

n=1

T1(x) – линейная функция

n=2

- график парабола

f(x)-T1(x)=f’(x0)x-x0

f(x)-T2(x)=[f’’(x0)x-x02]/2

T3(x)=ax3+bx2+cx+d – график кубическая парабола



Выпуклость и вогнутость.



Определение: Пусть функция f(x) – дифференцируема в

точке х0, то она называется выпуклой (вогнутой) в верх

в точке х0, если f(x)-yкас<0 в О(х0)







Определение: Пусть функция f(x) – дифференцируема в

точке х0, то она называется выпуклой (вогнутой) вниз в

точке х0, если f(x)-yкас>0 в О(х0)





Определение: Пусть функция f(x) – дифференцируема в

точке х0, то она называется выпуклой (вогнутой) в верх

(вниз) на интервале (a,b), если она выпукла в верх (вниз)

в каждой точке этого интервала.

Определение: (точки перегиба) Пусть функция f(x) диф-

ференцируема в О0) и непрерывна в О(х0). Точка х0

называется точкой перегиба графика f(x), если при пере-

ходе через точку меняется знак выпуклости.




Теорема: (о достаточном условии выпуклости функции).

Пусть функция f(x) дважды дифференцируема в точке х0 и f’’(x0)<0 (f’’(x0)>0), тогда f(x) – выпукла вверх (вниз) в тоске х0.

Доказательство: Напишем формулу Тейлора с остаточным членом в форме пеано:


Если х близко к х0, то знак квадрата скобки определяется знаком f(x0). Если f’’(x0)<0, то f(x)-yкас>0 в О0).

Если f’’(x0)>0, то f(x)-yкас>0 в О0)

Теорема: Путь функция f(x) непрерывна в О(х0) и дважды дифференцируема в О0), причём f’(x) меняет знак при переходе через точку х0, тогда точка х0 – точка перегиба.

Доказательство:


f’’(x) - +

( ) x

x0

f’’(x)<0 в O-(x0) f(x) – выпукла вверх в О-0)

f’’(x)>0 в O+(x0) f(x) – выпукла вниз в О+0)

Следствие: Если f(x) дважды дифференцируемы в точке х0. Если точке х0 точка перегиба, то f’’(x0)=0

Путь точка х0 точка перегиба и существует f’’(x0)>0, тогда

то есть при переходе через точку х0 левая часть равенства f(x)-yкас не меняет знак. Аналогично получаем для f(x)>0 f’’(x0)=0

Замечание: Условие равенства f’’(x0)=0 необходимо, но недостаточно.

Теорема: (о достаточном условие экстремума по второй производной)

Пусть функция f(x) дважды дифференцируема в точке х0, тогда точка х0 точка максимума если f’’<0, точка х0 точка минимума если f’’(x0)>0.

Доказательство:

При х достаточно большим и х0 знак в квадратных скобках совпадает со знаком f’’(x0) f(x)-f(x0)>0 в О0), если f’’(x0)>0 то есть f(x)>f(x0) в О0) х0 точка минимума, если f(x)-f(x0)<0 в О0), и если f’’(x0)<0 то есть f(x)<f(x0) в О0) х0 точка максимума.

Замечание: Если f’(x0)=0 и f’’(x0)=0, то нужны дополнительные исследования.


Лекция №17

Ведущая: Голубева Зоя Николаевна

Дата: среда, 22 ноября 2000 г.

Тема: Асимптоты. Полное исследование функции.

Асимптоты.


  1. Вертикальные

    1. Пусть функция f(x) определена в , тогда прямая х=х0 называется правой вертикальной асимптотой для функции f(x)

    2. Пусть функция f(x) определена в , тогда прямая х=х0 называется левой вертикальной асимптотой для функции f(x)

  1. Наклонные асимптоты

2.1 Пусть функция f(x) определена в , тогда прямая y=kx+b называется правой наклонной асимптотой для функции f(x). (Если k=0, то говорят, что y=b – горизонтальная асимптота).

2.2 Пусть функция f(x) определена в , тогда прямая y=kx+b называется левой наклонной асимптотой для функции f(x).

Необходимые и достаточные условия существования наклонной асимптоты.

Пусть функция f(x) определена в О(+) и

тогда прямая y=kx+b правая наклонная асимптота

Замечание: если условие 1) не выполнено, то нужно посчитать предел lim(f(x)), чтобы выяснить поведение

х+

функции на бесконечности.


Полное исследование функции.

  1. Область определения

  2. Симметрия и периодичность

  3. Вертикальные асимптоты

  4. Наклонные асимптоты

  5. Критические точки, если есть, то находим точки экстремума и промежутки возрастания и убывания функции f'(x)=0 или f’(x) не существует, а f(x) существует

  6. Возможные точки перегиба f’’(x)=0, либо f’’(x) не существует, но f’(x) существует следовательно промежутки выпуклости и вогнутости

  7. Точки пересечения с осями координат и промежутки знака постоянства (если можно)

Пример:

  1. Область определения D: x¹3

  2. Функция не симметрична и не периодична

Þ х=3 правая и левая вертикальная асимптота

4)

Þ y=0 правая и левая горизонтальная асимптота

5)

критическая точка х1=-3/2

f(-3/2)=4/243

6)

критическая точка х2=-3

f(-3)=1/72

7)x=0 y=0

Приближенные методы решения уравнения f(x)=0

1) Метод хорд

а) f(x), f’(x), f’’(x) – непрерывны на отрезке [a,b]

б) f(a)f(b)<0

в) f’(x) и f’’(x) – сохраняют знаки на отрезке [a,b]

f()=0;A(a;(f(a)),B(b;f(b))


Лекция №18

Ведущая: Голубева Зоя Николаевна






Оценка скорости сходимости.

2


2) Метод касательных (метод Ньютона)

f(x)=0

1)f(x),f’(x),f’’(x)-непрерывна на [a,b]

2)f(a), f(b) <0

3)f’(x),f’’(x) – сохраняет знак на [a,b]


точка пересечения х1 – это точка пересечения касательной с осью Ох

Yкас=0, x=x1

0=f(b)+f’(b)(x1-b)

f’(b)b-f(b)=f’(b)x1




Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лангранджа в точке xn

c – лежит между х и хn

Положим x=; f()=0


M>0:|f”(x)|M

x[a,b] m>0:|f’(x)|m;x[a,b]