Конспект по дискретной математики (DISKRET)

Посмотреть архив целиком

Дискретная математика


Введение


Общество 21в. – общество информационное. Центр тяжести в решении задач переместился от задач вычислительной математики к задачам на дискретных структурах. Математика нужна не как метод расчета, а как метод мышлению средство формирования и организации…

Такое владение математикой богатой культуры, понимание важности точных формулировок.

В дисциплине мало методов, но много определений и терминов. В основе дискретной математике 4 раздела:

  1. Язык дискретной математики;

  2. Логические функции и автоматы;

  3. Теория алгоритмов;

  4. Графы и дискретные экстремальные задачи.


Теория алгоритмов и формальных систем является центральной в дисциплине. В настоящие время от нее возникли ответвления, например, разработка алгоритмических языков программирования.


Одной из важнейших проблем в дискретной математики является проблема сложности вычислений.


Теория сложности вычислений помогает оценить расход времени и памяти при решении задач на ЭВМ. Теория сложности позволяет выделить объективно сложные задачи (задачи перебора) и неразрешимые задачи.


Мы будем заниматься решением задач реальной размерности с учетом ограниченности временных и емкостных ресурсов ЭВМ.



Множества и операции над ними


Одно из основных понятий математики – множество.


Определение:

Множеством называется совокупность, набор предметов, объектов или элементов.


Множество обозначают: M,N …..

m1, m2, mn – элементы множества.


Символика

A M – принадлежность элемента к множеству;

А М – непринадлежность элемента к множеству.


Примеры числовых множеств:

1,2,3,… множество натуральных чисел N;

…,-2,-1,0,1,2,… - множество целых чисел Z.

множество рациональных чисел а.

I – множество иррациональных чисел.

R – множество действительных чисел.

K – множество комплексных чисел.


Множество А называется подмножеством В, если всякий элемент А является элементом В.

А В – А подмножество В (нестрогое включение)


Множества А и В равны, если их элементы совпадают.


A = B


Если А В и А В то А В (строгое включение).


Множества бывают конечные и бесконечные.


|М| - мощность множества (число его элементов).


Конечное множество имеет конечное количество элементов.


Пустое множество не содержит элементов: M = .


Пример: пустое множество:


1) множество действительных корней уравнения x2+1=0 пустое: M = .

2) множество , сумма углов которого 1800 пустое: M = .


Если дано множество Е и множество и мы рассматриваем все его подмножества, то множество Е называется униварсельным.


Пример: Если за Е взять множество книг то его подмножества: художественные книги, книги по математике, физики, физики …


Если универсальное множество состоит из n элементов, то число подмножеств = 2n.


Если , состоящее из элементов E, не принадлежащих А, называется дополненным.


Множество можно задать:

  1. Списком элементов {a,b,c,d,e};

  2. Интервалом 1<x<5;

  3. Порождающей процедурой: xk=k sinx=0;


Операции над множествами


  1. Объединение множеств А и В (союз или). Множество, состоящие из элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств А или В называется объединенным.

А В


Отношение множеств наглядно иллюстрируется с помощью диаграмм Венна.


Диаграмма Венна – это замкнутая линия, внутри которой расположены элементы множества.


Объединение двух множеств

О

А

В

бъединение системы множеств можно записать

- объединение системы n множеств.


Пример: объединение множеств, когда они

заданы списком.


A = {a,b,d} B = {b,d,e,h} AUB = {a,b,c,d,e,h}








Объединение трех множеств:

AUB AUB


2




A


C


B




A


B


) Пересечением множеств А и В называется множество, состоящие из элементов принадлежащих одновременно множествам А и В.


A B

А


А


С




В

В








Пересечение прямой и плоскости

  1. если прямые || пл., то множество пересечений – единственная точка;

  2. если прямые II пл., то M ;

  3. если прямые совпадают, то множество пересечений = множество прямой.


Пересечение системы множеств:

  1. Разностью 2-х множеств А и В называется множество, состоящее из всех элементов А, не входящих в В.


С = А \ В









A \ B


A \ B

А

А \ В

В

А

В

A

B








A = {a,b,d}; B = {b,c,d,h} C = A \ B={a}.


В отличии от предыдущих операций разность: 1) строго двухместна;

2) не коммутативна, т.е. A\B B\A.


4) дополнение

E – универсальное множество.

-- дополнение


Операции объединения, пересечения и дополнения называются Булевыми.


Основные законы операций над множествами.


Некоторые свойства , похожи на алгебраические операции, однако многие свойства операций над множествами все же отличаются.


Основные свойства


  1. AUB=BUA; AB=BA переместительный закон объединения и пересечения.

  2. (АUB)UC = AU(BUC); (AB)C=A(BC) сочетательный закон.

  3. АU=A, A=, A \ =A, A \ A=

1,2,3 – есть аналог в алгебре.

3.а) \ A = - нет аналога.

  1. ; E \ A =; A \ E=; AUA=A; AA=A; AUE=E; AE=A;

5.а) свойства 1-4 очевидны и не нуждаются в доказательствах.

  1. A(BUC)=(AB)(AC) – есть аналогичный распределительный закон относительно U.


Прямые произведения и функции


Прямым декартовым “х” множеством А и В называется множество всех пар (a;b), таких, что аА, bB.


С=AхВ, если А=В то С=А2.


Прямыми «х» n множеств A1x,…,xAn называется множество векторов (a1,…an) таких, что a1A1,…, AnAn.


Через теорию множеств введем понятие функции.


Подмножество FMx x My называется функцией, если для каждого элемента хMx найдется yМу не более одного.

(x;y)F, y=F(x).


Соответствие между аргументом и функцией можно изобразить с помощью диаграммы Венна:

Мх

My






а) взаимнооднозначное соответствеие (отображение)

а) не взаимнооднозначное соответствеие (отображение)




Определение: Между множествами MX и MY установлено взаимноодназночное соответствие, если каждому хMX соответствует 1 элемент yMY и обратное справедливо.

Пример: 1) (х,у) в круге



x=2 y=2


y=2 x=2..4





не взаимнооднозначное соответствие.






2


2 3 4


y


X



2) x = sinx







/2


-/2



R R



Пусть даны две функции f: AB и g: BC, то функция y:AC называется композицией функций f и g.


Y=f o g o – композиция.


Способы задания функций:


  1. таблицы, определены для конечных множеств;

  2. формула;

  3. графики;


Способы 1-3 частные случаи выч. процедуры.


Пример процедуры, не относящейся к 3 способам задания функций n!


Взаимнооднозначное соответствие и мощности множеств.


Определение: Множества равномощны |A|=|B| если между ними взаимнооднозначное соответствие.


Теорема: Если для конечного множества А мощность равна |A| то количество всех подмножеств 2|A|=2n.

Множества равномощные N называются счетными, т.е. в них можно выполнить нумерацию элементов. N – множество натуральных чисел.


Множество N2 – счетно.

Доказательство


Разобьем N2 на классы

К 1-ому классу отнесем N1 (1; 1)

1-ый элемент 1-го множества

1-ый элемент

2-го множества





Ко 2-му классу N2 {(1;2), (2;1)}

К i-му классу Ni {(a;b)| (a+b=i+1}

Каждый класс будет содержать i пар.


Упорядоченный классы по возрастанию индекса i, а пары внутри класса упорядоченные по направлению первого элемента а.


Занумеруем последовательность классов, что и доказывает счетность множества N2.


Аналогично доказывается счетность множеств N3,…,Nk.


Теорема Кантора:

Множество всех действительных чисел на отрезке [0;1] не является счетным.


Доказательство

Допустим это множество счетно изобразим его числа десятичными дробями.

}


1

1

-я 0, a11, a12 ….

2-я 0, а21, a22 ….

………………….


Возьмем произвольное число 0,b1,b2,b3

b

1

1 a11, b2 a22, …

Эта дробь не может выйти в последовательность т.к. отличается от всех чисел, значит нельзя пронумеровать числа на отрезке [0;1].

Множество нечетно и называется континуальным, а его мощность континуум.


Метод, используемый при доказательстве, называется диагональным методом Кантора.


Отношение

Пусть дано RMnn местное отношение на множество М.


Будем изучать двухместные или бинарные отношения. Если а и b находятся в отношении R, то записывается а R b.


Проведем отношение на множество N:

А) отношение выполняется для пар (7,9) (7,7_

Б) (9,7) не выполняется.


Пример отношения на множество R


А) отношение находится на одинаковом расстоянии от начала координат выполняется для пар (3; 4) и (2; 21)

Б) (3; 4) и (1; 6) не выполняется.


Для задания бинарных отношений можно использовать любые способы задания множеств.

Для конечных множеств используют матричный способ задания множеств.


Матрица бинарного отношения на множество M={1;2;3;4}, тогда матрица отношения С равна




С=


1

2

3

4

1

1

1

1

1

2

0

1

1

1

3

0

0

1

1

4

0

0

0

1



С=

101

010

001




Отношение Е заданные единичной матрицей называется отношением равенства.



Отношением назовется обратным к отношением R, если ajRai тогда и только тогда, когда ajRai обозначают R-1.


Свойства отношений

  1. Если aRa ==> очн. рефлексивное и матрица содержит на главной диагонали единицу

если ни для какого а не … ==> отношение антирефлексивное

главная диагональ содержит нули

Пр. отношнний

рефлексивное

< антирефлексивное

2. Если из aRb следует bRa, ==> отношение R симметричное. В матрице отношения элементы

сумм Cij=Cji. Если из aRb и bRa следует a=b ==> отношение R – антисимметричное.

Пр. Если а b и b a ==> a=b

  1. Если дано a,b,c из aRb и aRc следует aRC ==> отношение называемое транзитивным.

  2. Отношение называется отношением эквивалентности, если оно рефлексивно, симметрично и транзитивно.

Пр. отношение равенства E


5. Отношение называется отношением нестрогого порядка, если оно рефлексивно,

антисимметрично и транзитивно. Отношение называется отношением строгого порядка,

если оно антирефлексивно, антисимметрично и транзитивно.

Пр. а) отношение u для чисел отношение нестрогого

б) отношение < u > для чисел отношение строгого


Лекция: Элементы общей алгебры

Р. Операции на множествах


Множество М вместе с заданной на нем совокупностью операций = {1,…, m}, т.е. система А = {М1;1,…, m} называется алгеброй. - сигнатура.


Если M1M и если значения ( M1), т.е. замкнуто ==> A1=1;1,…, m} подалгебра A.

Пр. 1. Алгебра (R;+;*) – называется полем действительных чисел обе операции бинарные и

поэтому тип этой алгебры (2;2)

  1. B=(Б;;) – булева алгебра. тип операций (2;2;1)

Р. Свойства бинарных алгебраических операций

запись ab.

1. (ab)c=a(bc) – ассоциативная операция

Пр. +,x – сложение и умножения чисел ассоциативно

2. ab = ba – коммутативная операция

Пр. +,x – коммутат.

; : – некоммут.

умножение мат AB BA – некоммутативно.

3. a(bc) = (ab) (ac) –дистрибутивность слева

(ab)c) = (aс) (bc) –дистрибутивность справа.

Пр. (ab)e=aebe – возведение в степень дистрибутивного отношения произведения справа

но не abc abac


Р. Гомоморфизм и изоморфизм



Алгебры с разными членами имеют различные строения. Алгебры с одинаковыми членами имеют сходство. Пусть даны две алгебры A=(K; I) и B=(M; I) – одинакового типа.

Пусть отображение Г:KM при условии Г(I)= I(Г), (1) т.е. результат не зависит от последовательности возможных операций: Или сначала вып. операции I b А и затем отображении Г, или сначала отображение Г, или сначала отображение Г и затем отображение I в В.

Тогда условие (1) называется Гомоморфизмом алгебры А в алгебру В.

Когда существует взаимооднозначный гомоморфизм его называют изоморфизмом. В этом случае существует обратное отображение Г-1.

Мощности изоморфных алгебр равны.

Пр. Алгебры (QN; +) и (Q2; +) – отображение типа и условие (1) запишется как 2(а+b)=2а+2b.

Отношение изоморфизма является отношением эквивалентности на множестве алгебр, т.е вычисление рефлексивное, симметричности и транзитивности. Изоморфизм важнейшее понятие в математике. Полученные соотношения в алгебре А автоматически …. на изоморфные алгебры.








Случайные файлы

Файл
14255.rtf
82456.rtf
116476.rtf
116490.rtf
15791-1.rtf




Чтобы не видеть здесь видео-рекламу достаточно стать зарегистрированным пользователем.
Чтобы не видеть никакую рекламу на сайте, нужно стать VIP-пользователем.
Это можно сделать совершенно бесплатно. Читайте подробности тут.