Интеграл по комплексной переменной. Операционное исчисление и некоторые его приложения (PRAY)

Посмотреть архив целиком

Интеграл по комплексной переменной.

Определение 1: Кривая Г называется гладкой ,если она имеет непрерывно изменяющуюся касательную.

Определение 2: Кривая называется кусочно-гладкой ,если она состоит из конечного числа гладких дуг.

Основные свойства : Пусть на комплексной плоскости Z задана кусочно-гладкая кривая С длиной , используя параметрическое задание кривой С зададим tи (t), где иявляются кусочно-гладкими кривыми от действительной переменной t. Пусть <= t<=причем и могут быть бесконечными числами .

Пусть и удовлетворяют условию : [‘(t)]2 + [‘(t)]2 0. Очевидно, что задание координат =tи (t), равносильно заданию комплексной функции (t)= (t) i(t).

Пусть в каждой точке (t) кривой С определена некоторая функция f ( ). Разобьем кривую С на n – частичных дуг точками деления 0 , 1 , 2 , …, n-1 соответствующие возрастающим значениям параметра t, т.е. t0, t1, …, t i+1 > t i.

 i = i i-1. Составим интегрируемую функцию S = f (*) i . (1)
где *– производная точки этой дуги.

Если при стремлении max | i | 0 существует предел частных сумм не зависящий ни от способа разбиения кривой С на частичные дуги, ни от выбора точек i , то этот предел называется интегралом от функции f ( ) по кривой С.

(2)

f (i* ) = u (Pi*) + iv (Pi*) (3)

где i = (t) i(t) ((t) и(t) - действительные числа)

Подставив (3) в (1) получим :


(4)


Очевидно, что (4) состоит из суммы двух частных сумм, криволинейных интегралов действительной переменной. Переходя в (4) к пределу при и 0 и предполагая, что данные пределы существуют, получаем :


(5)


Заметим, что для существования криволинейного интегралов, входящих в (5), а тем самым и для существования интеграла (2) достаточно кусочной непрерывности функций u и v. Это означает, что (2) существует и в случае неаналитичности функции f ( ).

Сформулируем некоторые свойства интеграла от функции комплексной переменной. Из равенства (5) следуют свойства :













О
ограниченности интеграла.

П
ри этом z = ( ).


7.) Пусть Cp – окружность радиуса , с центром в точке Z0. Обход вокруг контура Cp осуществляется против часовой стрелки. Cp : = Z0 + ei, 0 2, d = iei d .

К
усочно-гладкую замкнутую кривую будем называть замкнутым контуром, а интеграл по замкнутому контуру – контурным интегралом.


ТЕОРЕМА КОШИ.

В качестве положительного обхода контура выберем направление при котором внутренняя область, ограниченная данным замкнутым контуром остается слева от направления движения :

Д
ля действительной переменной имеют место формулы Грина. Известно, что если функции P(x, y) и Q(x, y) являются непрерывными в некоторой заданной области G, ограниченны кусочно-гладкой кривой С, а их частные производные 1-го порядка непрерывны в G, то имеет место формула Грина:


( 8 )


ТЕОРЕМА : Пусть в односвязной области G задана аналитическая функция f(Z), тогда интеграл от этой функции по замкнутому контуру Г целиком лежащему в G , равен нулю.

Доказательство : из формулы (5) следует:

Т
.к. f( ) аналитическая всюду, то U(x, y), V(x, y) - непрерывны в области, ограниченной этим контуром и при этом выполняются условия Коши-Римана. Используя свойство криволинейных интегралов:

А

налогично :

По условию Коши-Римана в последних равенствах скобки равны нулю, а значит и оба криволинейных интеграла равны нулю. Отсюда :



ТЕОРЕМА 2 (Вторая формулировка теоремы Коши) : Если функция f() является аналитической в односвязной области G, ограниченной кусочно-гладким контуром C, и непрерывна в замкнутой области G, то интеграл от такой функции по границе С области G равен нулю.


TEOPEMA 3 (Расширение теоремы Коши на многосвязную область) :

Пусть f () является аналитической функцией в многосвязной области G, ограниченной извне контуром С0, а изнутри контурами С1, С2, .. ,Сn (см. рис.). Пусть f () непрерывна в замкнутой области G, тогда :


, где С – полная граница области G, состоящая из контуров С1, С2, .. , Сn. Причем обход кривой С осуществляется в положительном направлении.




Неопределенный интеграл.

С
ледствием формулы Коши является следующее положение : пусть f(Z) аналитична в односвязной области G, зафиксируем в этой области точку Z0 и обозначим:

интеграл по какой-либо кривой, целиком лежащей в области G, содержащей Z0 и Z, в силу теории Коши этот интеграл не зависит от выбора кривой интегрирования и является однозначной функцией Ф(Z). Аналитическая функция Ф(Z) называется первообразной от функции f(Z) в области G, если в этой области имеет место равенство : Ф (Z) = f( Z).

Определение: Совокупность всех первообразных называется неопределенным интегралом от комплексной функции f(Z). Так же как и в случае с функцией действительного переменного имеет место равенство :

( 9)



Это аналог формулы Ньютона-Лейбница.


Интеграл Коши. Вывод формулы Коши.

Ранее была сформулирована теорема Коши, которая позволяет установить связь между значениями аналитической функции во внутренних точках области ее аналитичности и граничными значениями этой функции.

П
усть функция f(Z) – аналитическая функция в односвязной области G, ограниченной контуром С. Возьмем внутри этой области произвольную точку Z0 и в области G вокруг этой точки построим замкнутый контур Г. Рассмотрим вспомогательную функцию (Z). Эта функция аналитична в области G всюду, кроме точки Z=Z0. Проведем контур с достаточным радиусом, ограничивающий точку Z0, тогда функция будет аналитична в некоторой двусвязной области, заключенной между контурами Г и . Согласно теореме Коши имеем :


По свойствам интегралов :



(2 )

Так как левый интеграл в (2) не зависит от выбора контура интегрирования, то и правый интеграл также не будет зависеть от выбора контура. Выберем в качестве окружность с радиусом . Тогда:



(3)


Уравнение окружности : = Z0 + ei (4)

Подставив (4) в (3) получим :




( 5 )



( 6 )




(7)



Устремим 0, т.е.  0.

Тогда т.к. функция f() аналитична в точке Z=Z0 и всюду в области G, а следовательно и непрерывна в G, то для всех >0 существует >0, что для всех из –окрестности точки Z0 выполняется | f() – f(Z0) | < .




(8)



Подставив ( 7) в ( 6) с учетом ( 8) получаем :

П
одставляя в ( 5) и выражая f(Z0) имеем :



(9)


Это интеграл Коши.

Интеграл, стоящий в (9) в правой части выражает значение аналитической функции f() в некоторой точке Z0 через ее значение на произвольном контуре , лежащем в области аналитичности функции f() и содержащем точку Z0 внутри.

Очевидно, что если бы функция f() была аналитична и в точках контура С, то в качестве границы в формуле (9) можно было использовать контур С.

Приведенные рассуждения остаются справедливыми и в случае многосвязной области G.


Следствие : Интеграл Коши, целиком принадлежащий аналитической области G имеет смысл для любого положения Z0 на комплексной плоскости при условии, что эта точка есть внутренней точкой области Г. При этом если Z0 принадлежит области с границей Г, то значение интеграла равно (9), а если т. Z0 принадлежит внешней области, то интеграл равен нулю :

П
ри Z0 Г указанный интеграл не существует.


Интегралы, зависящие от параметра.


Рассматривая интеграл Коши, видим, что подинтегральная функция зависит от 2-х комплексных переменных : переменной интегрирования и Z0. Таким образом интеграл Коши может быть рассмотрен как интеграл, зависящий от параметра, в качестве которого выбираем точку Z0.

Пусть задана функция двух комплексных переменных (Z, ), причем Z= x + iy в точке, принадлежащей некоторой комплексной плоскости G. = + i С. (С - граница G).

Взаимное расположение области и кривой произвольно. Пусть функция (Z, ) удовлетворяет условиям : 1) Функция для всех значений  С является аналитической в области G. 2) Функция (Z, ) и ее производная  являются непрерывными функциями по совокупности переменных Z и при произвольном изменении области G и переменных на кривой С. Очевидно, что при сделанных предположениях :

И
нтеграл существует и является функцией комплексной переменной. Справедлива формула :


(2)


Эта формула устанавливает возможность вычисления производной от исходного интеграла путем дифференцирования подинтегральной функции по параметру.


ТЕОРЕМА. Пусть f(Z) является аналитической функцией в области G и непрерывной в области G (G включая граничные точки ), тогда во внутренних точках области G существует производная любого порядка от функции f(Z) причем для ее вычисления имеет место формула :



(3)


С помощью формулы (3) можно получить производную любого порядка от аналитической функции f (Z) в любой точке Z области ее аналитичности. Для доказательства этой теоремы используется формула (2) и соответственные рассуждения, которые привели к ее выводу.


ТЕОРЕМА МОРЕРА. Пусть f(Z) непрерывна в односвязной области G и интеграл от этой функции по любому замкнутому контуру, целиком принадлежащему G равен 0. Тогда функция f (Z) является аналитической функцией в области G. Эта теорема обобщается и на случай многосвязной области G.


Разложение функции комплексного переменного в ряды.


Если функция f(x, y) определена и непрерывна вместе с частными производными (до n-го порядка ), то существует разложение этой функции в ряд Тейлора :