Интеграл по комплексной переменной. Операционное исчисление и некоторые его приложения (PRAY2)

Посмотреть архив целиком

Интегральные преобразования.


Операционное исчисление и некоторые его приложения.


Пусть задана функция действительного переменного t, которая удовлетворяет условиям :

  1. Функция f(t) кусочно-непрерывная (имеет конечное число точек разрыва первого рода).

  2. Для любого значения параметра t>0 существует M>0 и S00 такие, что выполняется условие : |f(t)|S0t


Рассмотрим функцию f(t)e-pt , где р – комплексное число р = ( а + i b).

(1)

Применим к этому соотношению формулу Эйлера :

Проинтегрировав это равенство получим :

(2)

Оценим левую часть равенства (2) :

А согласно свойству (3) |f(t)| < Me S0t

В случае если a>S0 имеем :

Аналогично можно доказать, что существует и сходится второй интеграл в равенстве (2).

Таким образом при a>S0 интеграл, стоящий в левой части равенства (2) также существует и сходится. Этот интеграл определяет собой функцию от комплексного параметра р :

(3)

Функция F(p) называется изображением функции f(t) по Лапласу, а функция f(t) по отношению к F(p) называется оригиналом.

f(t) F(p), где F(p) – изображение функции f(t) по Лапласу.

- это оператор Лапласа.


Смысл введения интегральных преобразований.

Этот смысл состоит в следующем : с помощью перехода в область изображения удается упростить решение многих задач, в частности свести задачу решения многих задач дифференциального, интегрального и интегро-дифференциального уравнения к решению алгебраических уравнений.

Теорема единственности: если две функции  tиt имеют одно и то же изображение F(p), то эти функции тождественно равны.

Смысл теоремы : если при решении задачи мы определим изображение искомой функции, а затем по изображению нашли оригинал, то на основании теоремы единственности можно утверждать, что найденная функция является решением в области оригинала и причем единственным.

Изображение функций 0(t), sin (t), cos (t).

Определение: называется единичной функцией.

Единичная функция удовлетворяет требованиям, которые должны быть наложены на функцию для существования изображения по Лапласу. Найдем это изображение :

Изображение единичной функции

Рассуждая аналогичным образом получим изображение для функции sin(t) :

интегрируя по частям получим :

т.е.

Аналогично можно доказать, что cos (t) переходит в функцию в области преобразований. Откуда :



Изображение функции с измененным масштабом независимого переменного.

где а – константа.

Таким образом :

и


Свойства линейности изображения.

Теорема : изображение суммы нескольких функций умноженное на постоянные равны сумме изображений этих функций умноженных на те же постоянные.

Если , то , где

Теорема смещения : если функция F(p) это изображение f(t), то F(+p) является изображением функции e-t f(t) (4)

Доказательство :

Применим оператор Лапласа к левой части равенства (4)

Что и требовалось доказать.


Таблица основных изображений:

F(p)

f(t)

F(p)

f(p)

1