Интеграл Пуассона (рди1)

Посмотреть архив целиком

Интеграл Пуассона.



Пусть x , g(x) , xR1суммируемые на -,  , 2- периодические, комплекснозначные функции. Через fg(x) будем обозначать свертку

fg(x) =dt

Из теоремы Фубини легко следует, что свертка суммируемых функций также суммируема на -, и

cn ( fg ) = cn ( f ) cn ( g ) , n = 0, 1 , 2 , ... ( 1 )


где cn ( f ) -- коэффициенты Фурье функции f ( x ) :

cn = -i n tdt , n = 0, 

Пусть L1 (-) . Рассмотрим при r  функцию

r ( x ) = n ( f ) rn ei n x , x  , ( 2 )

где ряд в правой части равенства (2) сходится равномерно по х для любого фиксированного r , r  . Коэффициенты Фурье функции r х равны

cn ( fr ) = cn r n  , n = 0 , , а это согласно (1) значит, что r x можно представить в виде свертки :

r ( x ) = , ( 3 )

где

, t  ( 4 )

Функция двух переменных Рr (t) , 0 r , t  , называется ядром Пуассона , а интеграл (3) -- интегралом Пуассона .

Следовательно,

Pr ( t ) = , 0r , t  . ( 5 )

Если  L ( - ) действительная функция , то , учитывая , что

c-n ( f ) = cn( f ) , n = 0 из соотношения (2) мы получим :


fr ( x ) =


= , ( 6 )

где

F ( z ) = c0 ( f ) + 2 ( z = reix ) ( 7 )

  • аналитическая в единичном круге функция . Равенство (6) показывает, что для любой действительной функции  L1( -, ) интегралом Пуассона (3) определяется гармоническая в единичном круге функция

u ( z ) = r (eix ) , z = reix , 0  r 1 , x [ -, ] .

При этом гармонически сопряженная с u (z) функция v (z) c v (0) = 0 задается формулой

v (z) = Im F (z) = . ( 8 )

Утверждение1.

Пусть u (z) - гармоническая ( или аналитическая ) в круге z   функция и (x) = u (eix) , x, . Тогда

u (z) = ( z = reix , z ) ( 10 ).


Так как ядро Пуассона Pr (t) - действительная функция, то равенство (10) достаточно проверить в случае, когда u (z) - аналитическая функция:

=, z + .

Но тогда

и равенство (10) сразу следует из (2) и (3).


Прежде чем перейти к изучению поведения функции r (x) при r , отметим некоторые свойства ядра Пуассона:

а) ;

б) ;

в) для любого >0

Соотношения а) и в) сразу следуют из формулы (5), а для доказательства б) достаточно положить в (2) и (3) х .

Теорема 1.

Для произвольной (комплекснозначной) функции ( -, ) , 1 p < , имеет место равенство

;

если же (x) непрерывна на [ -, ] и (-) = () , то

.



Доказательство.

В силу (3) и свойства б) ядра Пуассона

( 12 )

Для любой функции , пользуясь неравенством Гельдера и положительностью ядра Пуассона , находим

.

Следовательно,

.

Для данного найдем = () такое, что . Тогда для r , достаточно близких к единице, мы получим оценку

.

Аналогично второе неравенство вытекает из неравенства

.

Теорема 1 доказана.


Дадим определения понятий "максимальная функция" и "оператор слабого типа", которые понадобятся нам в ходе доказательства следующей теоремы.

Определение1.

Пусть функция суммируема на любом интервале (-А, А), А > 0 . Максимальной функцией для функции называется функция