Гамма функции (kurs_gamma)

Посмотреть архив целиком

1. Бэта-функции 6

Бэта – функции определяются интегралом Эйлера первого рода:


= (1.1)


сходятся при .Полагая =1 – t получим:


= - =


т.e. аргумент и входят в симетрично. Принимая во внимание тождество



по формуле интегрирования почестям имеем



Откуда


= (1.2)



7

При целом b = n последовательно применяя(1.2)

Получим


(1.3)



при целых = m,= n,имеем


но B(1,1) = 1,следовательно:


Положим в (1.1) .Так как график функции симметрична относительно прямой ,то




8

и в результате подстановки ,получаем


полагая в(1.1) ,откуда ,получим


(1.4)


разделяя интеграл на два в пределах от 0 до 1 и от 1 до и применение ко второму интегралу подстановки ,получим


=












2. Гамма-функция 9

Гамма функцию определяет интеграл Эйлера второго рода


(a) = (2.1)


сходящийся при 0.Положим =ty,t > 0 ,имеем


(a) =


и после замены , через и t через 1+t ,получим