Вычислительные методы алгебры (лекции) (12)

Посмотреть архив целиком

§12. Метод простой итерации для решения алгебраических и трансцендентных уравнений.


ТЕОРЕМА 1. (Принцип Банаха сжимающихся отображений).

Пусть R – полное метрическое пространство. Если сжатие, то для него существует в R единственная неподвижная точка, к которой сходится итерационный процесс.

, где - произвольный.

План доказательства.

  1. фундаментальная

(*)

q – коэффициент сжатия

.

  1. Т.к. R – полное метрическое пространство, то в нем всякая фундаментальная последовательность сходится.

сходится, , причем , т.е. – неподвижная точка.

  1. единственна.

ЧТД.


- последовательность приближения к решению уравнения


Метод метод простой итерации.

Если в (*) зафиксировать, а , то

оценка погрешности, оценка скорости сходимости.

со скоростью геометрической прогрессии.

линейная скорость сходимости.

Метод простой итерации имеет линейную скорость сходимости.

Пусть (2), – вещественная функция.

Необходимо привести к виду .

, - знакопостоянная непрерывная функция.


Условие сходимости для данного метода:

ТЕОРЕМА 2.

Пусть выполняются условия:

  1. Функция – определена и непрерывна на отрезке и на этом отрезке удовлетворяет условию Липшица: ;

  2. Для начального приближения выполняется условие ;

  3. Числа связаны условием .

Тогда уравнение имеет единственное решение в области , к которому сходится итерационный процесс со скоростью сходимости .

Теорема доказывается аналогично теореме Банаха с точностью до обозначений.

Замечание. Условие Липшица применять трудно, вместо него применяют другое условие: