Вычислительные методы алгебры (лекции) (4)

Посмотреть архив целиком

§4. Связь между числом количества верных цифр

и относительной погрешностью.


Пусть .

Определение. Цифра приближенного значения а называется верной, если модуль его погрешности не превосходит половины единицы этого разряда.

.

Очевидно, что все цифры, стоящие слева от верной цифры – верные.

Пример. Пусть х=27,421, а=27,381, .

Выясним, какие цифры верные в приближении а?

4, следовательно, 4 – неверная;

8, следовательно, 8 – неверная;

3, следовательно, 3 – верная.

3,2,7 – верные цифры.


Пусть известно количество n верных значащих цифр в приближении а, тогда а запишем:

.

Так как цифра, стоящая в разряде -(n-1) верна, то погрешность

,

тогда .

В качестве границы относительной погрешности можно взять .

Итак, доказана теорема 1.

Теорема 1. Если приближение имеет n верных значащих цифр, то число является границей его относительной погрешности.

Теорема устанавливает связь между числами верных значений и его относительной погрешностью.

Замечание. Пусть приближение имеет n верных значащих цифр и – его первая значащая цифра, тогда число является границей относительной погрешности.

Пример. .

Итак, граница относительной погрешности приближенного значения зависит от первой значащей цифры , количества верных цифр приближения, но не зависит от порядка приближения.

Теорема 2. Если граница относительной погрешности приближения равна , то приближение имеет не менее n значащих цифр.

Доказательство. Пусть - первая значащая цифра приближения а и n – порядок, тогда .

Из определения следует, что –(m-1) – цифра, записанная в этом разряде верная, цифры, записанные левее тоже верные, то есть m верных цифр.

ЧТД.

Пример. Если известно, что относительная погрешность приближения , то согласно теореме 2, это приближение имеет ровно 3 верные значащие цифры.

, следовательно, по теореме 2, приближение имеет не менее 3-х верных значащих цифр.



Случайные файлы

Файл
138913.rtf
146028.doc
182726.rtf
2896-1.rtf
77877-1.rtf




Чтобы не видеть здесь видео-рекламу достаточно стать зарегистрированным пользователем.
Чтобы не видеть никакую рекламу на сайте, нужно стать VIP-пользователем.
Это можно сделать совершенно бесплатно. Читайте подробности тут.