Вычисление определённых интегралов по правилу прямоугольников (84257)

Посмотреть архив целиком

Содержание.




  1. Введение. Постановка задачи……..…………………………2стр.

  2. Вывод формулы……………………………………………….3стр.

  3. Дополнительный член в формуле прямоугольников……….5стр.

  4. Примеры………………………………………………………..7стр.

  5. Заключение……………………………………………………..9стр.

  6. Список литературы…………………………………………...10стр.






































Постановка задачи.


Задача вычисления интегралов возникает во многих областях прикладной математики. В большинстве случаев встречаются определённые интегралы от функций, первообразные которых не выражаются через элементарные функции. Кроме того, в приложениях приходится иметь дело с определёнными интегралами, сами подынтегральные функции не являются элементарными. Распространенными являются также случаи, когда подынтегральная функция задается графиком или таблицей экспериментально полученных значений. В таких ситуациях используют различные методы численного интегрирования,  которые основаны на том, что интеграл представляется в виде предела интегральной суммы (суммы площадей), и позволяют определить эту сумму с приемлемой точностью. Пусть требуется вычислить интеграл при условии, что a и b конечны и f(x) является непрерывной функцией на всем интервале (a, b). Значение интеграла I представляет собой площадь, ограниченную кривой f(x),осью x и прямыми x=a, x=b. Вычисление I проводится путем разбиения интервала от a до b на множество меньших интервалов, приближенным нахождением площади каждой полоски, получающейся при таком разбиении, и дальнейшем суммировании площадей этих полосок.






























Вывод формулы прямоугольников.



Прежде, чем перейти к формуле прямоугольников, сделаем следующее замечание:

З а м е ч а н и е. Пусть функция f(x) непрерывна на сегменте [a, b], а

- некоторые точки сегмента [a, b]. Тогда на этом сегменте найдётся точка такая, что среднее арифметическое .

В самом деле, обозначим через m и M точные грани функции f(x) на сегменте [a, b]. Тогда для любого номера k справедливы неравенства . Просуммировав эти неравенства по всем номерам и поделив результат на n, получим

Так как непрерывная функция принимает любое промежуточное значение, заключённое между m и M, то на сегменте [a, b] найдётся точка такая, что

.


Первые формулы для приближенного вычисления определённых интегралов проще всего получаются из геометрических соображений. Истолковывая определенный интеграл как площадь некоторой фигуры, ограниченной кривой , мы и ставим перед собой задачу об определении этой площади.


Прежде всего, вторично используя эту мысль, которая привела к самому понятию об определенном интеграле, можно разбить всю фигуру (рис. 1) на полоски, скажем, одной и той же ширины , а затем каждую полоску приближенно заменить прямоугольником, за высоту которого принята какая-либо из ее ординат. Это приводит нас к формуле

(1)

где , а R – дополнительный член. Здесь искомая площадь криволинейной фигуры заменяется площадью некоторой состоящей из прямоугольников ступенчатой фигуры (или – если угодно – определенный интеграл заменяется интегральной суммой). Эта формула и называется формулой прямоугольников.

(рис.1)

На практике обычно берут ; если соответствующую среднюю ординату обозначить через , то формула перепишется в виде

.

























Дополнительный член в формуле прямоугольников.


Перейдём к отысканию дополнительного члена в формуле прямоугольников.

Справедливо следующее утверждение:

У т в е р ж д е н и е. Если функция f(x) имеет на сегменте [a, b] непрерывную вторую производную, то на этом сегменте найдётся такая точка

, что дополнительный член R в формуле (1) равен

(2)

Доказательство.

Оценим , считая, что функция f(x) имеет на сегменте [-h, h] непрерывную вторую производную Для этого подвергнем двукратному интегрированию по частям каждый из следующих двух интегралов:

Для первого из этих интегралов получим

Для второго из интегралов аналогично получим

Полусумма полученных для и выражений приводит к следующей формуле:

(3)

Оценим величину , применяя к интегралам и формулу среднего значения и учитывая неотрицательность функций и . Мы получим, что найдутся точка на сегменте [-h, 0] и точка на сегменте

[0 ,h] такие, что

В силу доказанного замечания на сегменте [-h, h] найдётся точка такая, что

Поэтому для полусуммы мы получим следующее выражение:

Подставляя это выражение в равенство (3), получим, что