Примеры: в нижеследующих примерах приведены образцы исследования элементарных функций, заданных формулами, содержащими обратные тригонометрические функции.


Пример №1. Исследовать функции arcsin(1/x) и arccos(1/y) и построить их графики.

Решение: Рассмотрим 1-ю функцию

y

y

y = arcsin(1/x)

Д

π/2

-π/2

(
f): | 1/x | ≤ 1 ,

| x | ≥ 1 ,

( - ∞ ; -1 ] U [ 1; + ∞ )

-1



0

1

x

y

x


Функция нечетная





( f(x) убывает на пр. [0;1] , f(y) убывает на пр. [0;π/2] )



З

y

аметим, что функция y=arccosec(x) определяется из условий cosec(y)=x и y є [-π/2; π/2], но из условия cosec(y)=x следует sin(y)=1/x, откуда

y

π

=arcsin(1/x). Итак, arccos(1/x)=arcsec(x)


Д(f): ( - ∞ ; -1 ] U [ 1; + ∞ )

π/2




0

1

-1




Пример №2. Исследовать функцию y=arccos(x2).

Р

π/2

ешение:

Д(f): [-1;1]

Четная

f(x) убывает на пр. [0;1]

f

0

-1

(x)
возрастает на пр. [-1;0]

1

x





Пример №3. Исследовать функцию y=arccos2(x).

Решение: Пусть z = arccos(x), тогда y = z2

f(z) убывает на пр. [-1;1] от π до 0.

f(y) убывает на пр. [-1;1] от π2 до 0.






x


0

1

-1








Пример №4. Исследовать функцию y=arctg(1/(x2-1))

Решение:

Д(f): ( - ∞ ; -1 ) U ( -1; 1 ) U ( 1; +∞ )

Т.к. функция четная, то достаточно исследовать функцию на двух промежутках:

[

y

0 ; 1 ) и ( 1 ; +∞ )


π/2

X

0

< x <

1

< x <

+

1

-1

u=1/(x2-1)

-1

+

-

0

0

x

y=arctg(u)

- π/4

π/2

- π/2

0

-π/2

-π/4




Тригонометрические операции над аркфункциями

Тригонометрические функции от одного и того же аргумента выражаются алгебраически одна через другую, поэтому в результате выполнения какой-либо тригонометрической операции над любой из аркфункций получается алгебраическое выражение.

В силу определения аркфункций:


sin(arcsin(x)) = x , cos(arccos(x)) = x

(справедливо только для x є [-1;1] )

tg(arctg(x)) = x , ctg(arcctg(x)) = x

(справедливо при любых x )

Графическое различие между функциями, заданными формулами:


y=x и y=sin(arcsin(x))

x

y

0






x

y

0

1

-1







Сводка формул, получающихся в результате выполнения простейших тригонометрических операций над аркфункциями.


Аргумент


функция

arcsin(x)

arccos(x)

arctg(x)

arcctg(x)

sin

sin(arcsin(x))=x

cos

x

tg

x

1 / x

ctg

1 / x

x


Справедливость всех этих формул может быть установлена при помощи рассуждений, приведенных ниже:

  1. Т.к. cos2x + sin2x = 1 и φ = arcsin(x)


Перед радикалом следует взять знак “+”, т.к. дуга принадлежит правой полуокружности (замкнутой) , на которой косинус неотрицательный.

Значит, имеем


  1. Из тождества следует:


  1. Имеем



Ниже приведены образцы выполнения различных преобразований посредством выведения формул.


Пример №1. Преобразовать выражение

Решение: Применяем формулу , имеем:


Пример №2. Подобным же образом устанавливается справедливость тождеств:


Пример №3. Пользуясь ...


Пример №4. Аналогично можно доказать следующие тождества:


Пример №5. Положив в формулах

, и

, получим:

,


Пример №6. Преобразуем