Эрлангенская программа: прежде и теперь (14073-1)

Посмотреть архив целиком

Эрлангенская программа: прежде и теперь

Переворот в геометрической науке, произведенный Феликсом Кляйном в конце 19 века, часто и справедливо сравнивают с реформой Евклида в античной геометрии. До Евклида был хаос (то есть, "газ") из разрозненных объектов и фактов древней науки. После него возник "кристалл" из тех же атомов (теорем, аксиом и определений), объединенных новыми логическими связями. Аналогично, до Кляйна была россыпь непохожих друг на друга кристаллов, синтезированных в разное время Евклидом, Гауссом, Лобачевским или Риманом. После Кляйна эта россыпь превратилась в упорядоченную коллекцию, где каждый экспонат задан своей группой допустимых преобразований интересующих нас фигур.

20 век колоссально расширил эту коллекцию, введя в арсенал математиков бесконечное семейство новых групп и соответствующих им геометрий. Чтобы не утонуть в новом хаосе " "газе" из групп и однородных пространств, математикам пришлось упорядочить разные способы сравнения групп между собою. Так в 1900-е годы в трудах Исайя Шура возникла теория представлений групп; вскоре она стала важнейшей опорой теоретической физики и новых геометрий (бесконечномерных, или неархимедовых), которые Кляйн не мог вообразить в 1872 году.

Двойной опыт Евклида и Кляйна в перестройке и упрощении высокоразвитой науки заслуживает рассмотрения с позиций обновленной физики. Если в обоих случаях мы имеем дело с фазовым переходом в структуре научной теории, то какова энергетика этого перехода" Можно ли описать его на языке Кляйна-Шура, сопоставив каждой геометрической теории некую группу допустимых преобразований каких-то фундаментальных объектов" Эти проблемы мы намерены обсудить.

Вспомним, что система Евклида охватывала далеко не все факты и объекты греческой геометрии 4 века до н.э. Конические сечения (эллипс, парабола, гипербола) не упомянуты в "Началах" ни единым словом. Конечно, Евклид был недоволен таким положением дел. Известно, что он написал трактат о конических сечениях " но не сумел унифицировать его с логической структурой "Начал", поэтому трактат не сохранился. Вскоре Аполлоний повторил (или превзошел) этот труд Евклида; но его книгу о конических сечениях также не удалось стыковать с "Началами".

Унификация этого разнообразия началась лишь в Новое время - в трудах Декарта, на базе итальянской алгебры 16 века и новой системы числовых координат на плоскости. Этот подход соединил две, казалось бы, независимые ветви математики: геометрию фигур и арифметику чисел. Понятно, что такой синтез вызвал восторг многих поколений молодежи: от Ньютона до Галуа, который сформировался как математик под влиянием учебников Лежандра по аналитической геометрии и алгебраической теории чисел.

Итак, между реформой Евклида и реформой Кляйна геометрия пережила еще один фазовый переход: "координатную революцию" Декарта. В сфере исследований эта революция совершилась за одно поколение " между появлением книги Декарта (1637) и ньютоновским открытием исчисления флюксий и флюент (1667). Напротив " в учебный процесс идеи Декарта проникали долго и мучительно. Не случайно Ньютон изложил свои открытия в "Математических Принципах Натурфилософии" (1687) на сложном, но привычном геометрическом языке " вместо новой и простой, но не обоснованной алгебры степенных рядов, которая вела мысль Ньютона от одного открытия к другому. Лишь сто лет спустя, когда новые вычислительные методы сделались основным аппаратом математики и механики, Адриен Лежандр использовал эту систему в преподавании геометрии будущим учителям и инженерам в Нормальной и Политехнической школах, порожденных Французской революцией.

После этого (в начале 19 века) классическая геометрия оказалась расщеплена на две половины: "евклидову" и "декартову", которые медленно развивались, почти ничем не помогая друг другу. Это особенно заметно в творчестве Карла Гаусса. В юности, идя по пути Декарта, он достиг замечательного успеха: доказал невыполнимость многих построений циркулем и линейкой. Двадцать лет спустя (в 1818 году) Гаусс решил испытать путь Евклида: насколько далеко может завести "тонкая хирургия" принятой системы аксиом геометрии" При этом зрелый Гаусс как будто забыл те алгебраические методы, которые он успешно применял в юности. В итоге долгих интуитивных и логических поисков, не вводя в геометрию или логику новых понятий, Гаусс сумел лишь угадать новую великую истину: неполноту любой богатой системы аксиом и правил вывода, неизбежность ветвления каждой формальной теории по очередному постулату, который не удается ни опровергнуть, ни доказать. Видимо, эта перспектива потрясла Гаусса " и он предпочел умолчать о своих догадках, чтобы не вносить разврат в умы научной молодежи, не делать математику посмешищем для окружающих невежд.

Выход из этого кризиса геометрии был возможен лишь с помощью алгебры " и Феликс Кляйн нашел этот выход, как только новая алгебра (теория групп) достигла необходимой понятийной зрелости в трудах Камилла Жордана. Вспомним, что создавать теорию групп перестановок S(n) начал Огюстен Коши в 1810-е годы. Вскоре юный Эварист Галуа с блеском применил алгебраические свойства групп S(n), доказав неразрешимость уравнений-многочленов степени n>4 в радикалах. Но рання смерть Галуа не позволила ему (в отличие от Ньютона или Гаусса) изложить свои открытия на общепонятном языке. Этот труд был завершел Жорданом лишь к 1870 году, когда Кляйну исполнилось 20 лет и он прибыл в Париж.

Слушая лекции Жордана, юный Кляйн испытал такое же потрясение, какие прежде посещали Евклида и Ньютона, Гаусса и Галуа. Группы перестановок конечных множеств оказались могучим рабочим средством для геометрии и алгебры. Можно ожидать того же от групп взаимно-однозначных преобразований геометрических фигур! Эти группы различны в трех известных геометриях: Евклида, Лобачевского и Римана. Вероятно, они различают любые возможные геометрические миры! Так родилась в 1872 году Эрлангенская программа 23-летнего профессора Кляйна " первый манифест новой синтетической математики, не расщепленной на алгебру и геометрию. Вскоре Георг Кантор огласил второй манифест обновленной математики: общую теорию множеств, которая быстро переросла в топологию метрических пространств и окончательно срастила исчисление функций с исчислением фигур или чисел. Кляйн горячо приветствовал эту новинку, предлагая считать функцию (и ее символ " график) столь же универсальным "иероглифом" математической науки, какими издавна служили числа и фигуры.

Очень важно, что (подобно Ньютону и Гауссу, но в отличие от Евклида или Галуа) Кляйн смолоду получил хорошее образование в области теоретической физики, считал ее сестрой и союзницей "чистой" математики. Выдвигая Эрлангенскую программу, Кляйн не мог не задуматься о той группе преобразований евклидова пространства, которая соответствует ньютоновой механике массивных точек и твердых тел. Тем более, что в эти же 1870-е годы Джемс Максвелл создал теорию электромагнитного поля (вторую главу единой математической физики), а Джозайя Гиббс распространил математическую термодинамику в область химических реакций.

Успехи Максвелла убедили Кляйна, что Эрлангенская программа неизбежно включит геометрические исследования новых физических миров " с использованием той же теории групп. Но научный талант Кляйна явно уступал таланту Ньютона или Гаусса. Понимая это, Кляйн не пытался стать законодателем мод в рождающейся геометрической физике, предоставив эту честь друзьям и ученикам " прежде всего Максу НTтеру, который в 1918 году установил взаимно-однозначное соответствие между геометрическими и физическими мирами. НTтер доказал, что всякий закон сохранения в физике соответствует симметрии физической среды относительно некоторой группы ее преобразований " одной из возможных групп Ли. Так теория групп объединила, наконец, математическую физику с геометрией и алгеброй; главная мечта Кляйна исполнилась. Незадолго до этого правоту Кляйна признали главный математик и главный физик нового века: Давид Гильберт увлекся математической физикой, Альберт Эйнштейн выразил суть общей теории относительности на языке дифференциальной геометрии.

Для нас, профессионалов, все это " события далекого прошлого, давно понятые и по достоинству оцененные мировой научной общественностью. Но для абсолютного большинства школьников (даже в математическом классе) это " Terra Incognita, об открытии которой не прочтешь ни в одном учебнике математики, физики или истории. Узнают ли российские юноши 21 века о надеждах и опасениях, удачах и ошибках научных Колумбов и Магелланов 17-20 веков " это зависит только от решимости и эрудиции того учителя, с которым их столкнула судьба. Не важно, какова узкая специальность такого учителя. Автору этих строк доводилось успешно излагать драму идей, завязанную Евклидом и развязанную Кляйном, в рамках разных учебных курсов, перед разными аудиториями " от математиков до гуманитариев.

Вывод прост: понять суть дела способны все любознательные подростки, хотя каждая их категория говорит на своем диалекте и задает вопросы особого рода. Современных подростков объединяет еще одна черта: справедливо считая начало 20 века "древней историей", они требуют от учителя связать высшие достижения Эйнштейна, Гильберта или ГTделя с наукой и бытом наших дней. Кляйн предвидел такую ситуацию в 1910-е годы, когда он боролся за очередную реформу математического и общенаучного образования в "классических" (то есть, застывших на уровне Евклида или Лежандра) немецких гимназиях. Увы " даже лучшие гимназии и лицеи современной России сходным образом застыли на уровне Резерфорда и Бора, Менделя и Моргана, Ключевского и Моммзена, и наконец " самого Кляйна, который не одобрял превращения Эрлангенской программы в вечную икону.






Чтобы не видеть здесь видео-рекламу достаточно стать зарегистрированным пользователем.
Чтобы не видеть никакую рекламу на сайте, нужно стать VIP-пользователем.
Это можно сделать совершенно бесплатно. Читайте подробности тут.