Исследование свойств прямоугольного тетраэдра (5462-1)

Посмотреть архив целиком

Исследование свойств прямоугольного тетраэдра

Автор работы Андреева Елена Валерьевна, ученица 11 «б» класса

Общеобразовательная муниципальная средняя школа №5

Город Кузнецк, 2004 год

І. Объект исследования

В работе впервые вводится понятие «Прямоугольный тетраэдр». Тетраэдр- многогранник, содержащий 4 грани. Тетраэдр является треугольной пирамидой и содержит 4 трёхгранных угла (рис. 1) Трёхгранный угол- фигура, образованная тремя плоскостями (гранями), имеющими общую точку (вершину) (рис 2) [1,2].

О О

А В

А В

С С

Рис. 1 Тетраэдр. Рис. 2 Трёхгранный угол.

Трёхгранный угол содержит три плоских угла, образованных рёбрами, лежащими на одной грани. Введем понятие прямого трехгранного угла. Назовем прямым трёхгранным углом трехгранный угол, содержащий три прямых плоских угла (рис3), т.е. рёбра трёхгранного угла взаимно перпендикулярны. Введем также понятие прямоугольного тетраэдра. Тетраэдр называется прямоугольным, если содержит прямой трёхгранный угол (рис 4).

А А

В В



О О

С

Рис. 3 Схема прямого Рис. 4 Схема прямоугольного

трёхгранного угла, тетраэдра.

Введем также понятия катетных граней, гипотенузной грани, катетов и гипотенуз прямоугольного тетраэдра. Прямоугольный тетраэдр содержит три катетные грани (грани, содержащие прямой плоский угол) и гипотенузную грань (не содержащую прямой угол). Прямоугольный тетраэдр содержит три катета (рёбра прямого трёхгранного угла) и три гипотенузы (рёбра, лежащие на гипотенузной грани). Тетраэдр, катеты которого равны, назовем равнокатет-ным.

Іі. Цель исследования

Установление или доказательство свойств прямоугольного тетраэдра

Актуальность темы: прямоугольный тетраэдр является простейшей геометрической фигурой, обладающей уникальными свойствами. Изучение этих свойств в школьном курсе математики должно способствовать развитию абстрактного и логического мышления у учащихся.

ІІІ. Доказательства свойств прямоугольного тетраэдра.

I. Квадрат площади гипотенузной грани равен сумме квадратов площадей катетных граней.

А

Дано:

ОАВС - прямоугольный тетраэдр

SОАВ= S1 SABC= S

SOBC= S2 SOAC= S3 В

Доказать: О

D

S²=S1²+S2²+S

С

Доказательство.

Пусть AD- высота гипотенузной грани АВС, проведённая к ребру ВС из вершины А, ОD- проекция AD на катетной грани ОВС, OD перпендикулярно ВС, т.к. AD перпендикулярно ВС и АО перпендикулярно ОВС (обратная теорема о трёх перпендикулярах). SABC= 1/2 BCAD

SOBC=1/2 BCOD

SOAB =1/2 OAOB

SOAC=1/2OAOC

S² OBC+S ²OAB +S ²AOC= 1/4(BC²OD²+OA²OB²+OA²OC²)=

=1/4(BC²OD²+OA²(OB²+OC²))=1/4(BC²OD²+OA²BC²), т.к.

ОВ²+ОС²=ВС² (по теореме Пифагора)

S²OBC+S²OAB+S²OAC=1/4 BC²(OD²+OA²)=1/4 BC²AD² , т.к.

OD²+OA²=AD² (по теореме Пифагора)

т.е. S²OBC+S²OAB+S²OAC=S²ABC

S²1+S²2+S²3=S², что и требовалось доказать.

II. Сумма квадратов гипотенуз равна удвоенной сумме квадратов катетов.

Дано: А

ОАВС- прямоугольный тетраэдр

где а , b , с - катеты. В

АВ, ВС и АС- гипотенузы а

Доказать: b

АВ²+ВС²+АС²=2(а² + b ² +с²)

Доказательство. О

АВ² = а² + b ² с С

ВС² = b ² + с² (по теореме Пифагора)

АС² = а² + с²

АВ² + ВС² + АС² =2а² + 2 b ² +2с² , что и требовалось доказать.

III. Объём прямоугольного тетраэдра равен 1/6 произведения катетов.

А

Дано:

ОАВС - прямоугольный тетраэдр

а , b , с - катеты. В

Доказать: а b

V=(1/6) а · b · с

Доказательство. О С

с

Поскольку тетраэдр является треугольной пирамидой, его объём

V=(1/3 )Sосн · h

Выберем в качестве основания катетную грань ОВС, тогда катет а будет высотой тетраэдра, т.к. а перпендикулярен ОВС, т.е.

V=(1/3) SOBC· а , т.к.SOBC=(1/2) b ·.с

Имеем V=(1/6) а · b · с, что и требовалось доказать.

Расстояние от вершины прямого трёхгранного угла до гипотенузной грани определяется по формуле:

h = (a۰b۰c)/√a²·b² + b²·c² + a²·c²

где a, b, c – катеты тетраэдра

Дано: А

ОАВС- прямоугольный тетраэдр

ОА = а, ОВ = b, ОС = с катеты Д

ОД = h – перпендикуляр к грани

АВС а

h В

Доказать: b


____________ О

h = (a·b·c) / √a²b²+b²c²+a²c² с С

Доказательство.

Объем тетраэдра:

V = (1/3)SАВС·h

C другой стороны: V = (1/6)abc (свойство 3 прямоугольного тетраэдра).

Следовательно,

h = (abc) / (2SАВС)

Из первого свойства прямоугольного тетраэдра:

___________________

SАВС = √Ѕ²ОАВ + S²ОВС + ОАС

____________

т.е. SАВС = (1/2)√a²b²+b²c²+a²c²

Следовательно,

____________

h = (abc) / √a²b²+b²c²+a²c² , что и требовалось доказать.

Косинусы направляющих углов нормали к гипотенузной грани определяются по формулам:

____________

cos α = h / a= (bc) / √a²b²+b²c²+a²c²

____________

сos β = h / b = (ac) / √a²b²+b²c²+a²c²

____________

cos γ = h / c= (ab) / √a²b²+b²c²+a²c²

где a, b, c – катеты тетраэдра;

α – угол между катетом а и нормалью

β – угол между катетом b и нормалью

γ – угол между катетом с и нормалью.

h – нормаль

Дано:

ОАВС - прямоугольный тетраэдр.

ОА = а, ОВ = b, ОС = с - катеты

ОД = h – нормаль к грани АВС А

Доказать: Д

____________

cos α = (bc) / √a²b² +b²c² +a²c² h

____________ а В

cos β = (ac) / √a²b² +b²c² +a²c² α b

____________ β

cos γ = (ab) / √a²b² +b²c² +a²c² γ

С

О с

Доказательство.

Соединим точку Д с точкой А и получим прямоугольный треугольник ОАД

cos α = ОД/ОА = h/a

____________

Поскольку h = (abc) / √a²b²+b²c²+a²c²

____________

cos α = (bc)/√a²b²+b²c²+a²c² , что и требовалось доказать.

Аналогично:

____________

cos β = ОД/ОВ = d/b = (ac)/√a²b²+b²c²+a²c²

____________

cos γ = ОД/ОС = d/c = (ab)/√a²b²+b²c²+a²c²

Радиус сферы, описывающей прямоугольный тетраэдр, определяется по формуле:

________

R = ( ½) · √a²+b²+c²

где a, b, c – катеты тетраэдра

К L

Дано:

ОАВС- прямоугольный тетраэдр А М

ОА = а, ОВ = b, ОС = с – катеты

R – радиус сферы, описывающей

тетраэдр.

Доказать: а

_______ В Д

R = (1/2)√a²+b²+c² b

О

Доказательство. с С


Случайные файлы

Файл
70240.rtf
136739.rtf
86109.rtf
160485.rtf
131230.rtf




Чтобы не видеть здесь видео-рекламу достаточно стать зарегистрированным пользователем.
Чтобы не видеть никакую рекламу на сайте, нужно стать VIP-пользователем.
Это можно сделать совершенно бесплатно. Читайте подробности тут.