4-51.Р. Какое из приведенных выражений для переходного процесса в цепи рис. 4.49 имеет ошибку, если выключатель замыкается при t=0, а напряжение сети изменяется по закону u=Umsint+π/2)?

1. uc=

2. i=

3.

В приведённых выражениях φ=arccos(r/z).


Решение 4-51. Уравнение электрического состояния цепи для переходного процесса

ir + UC = Um sin(ωt + π/2) (1)

Подставив в (1) значение i=C duC/dt, получим

Cr duC/dt + UC = Um sin(ωt + π/2) (2)

Напряжение на емкости в переходном режиме uC = uCy + uC CB .

Д
ействующее значение установившейся составляющей напряжение на емкости


где хC=1/2πfС.

Мгновенное значение принужденной составляющей

uCy = UmxCsin(ωt + π/2 + φ - π/2) /z = UmxCsin(ωt + φ)/z

Свободная составляющая напряжения на емкости «сев определяет­ся из дифференциального уравнения (2) без правой части:

Cr*duC CB/dt + uC CB = 0,

Откуда uC CB = Aept

Значение р определяется из характеристического уравнения С*r*р + 1 = 0, откуда p = -1/Cr.

Напряжение на ёмкости в переходном режиме

uC = uCy + uC CB = UmxCsin(ωt + φ)/z + Ae-t/Cr (3)

Постоянная интегрирования А определяется на основании второго закона коммутации. Так как до замыкания выключателя емкость была не заряжена, то напряжение на ней до и после замыкания выключателя равно нулю: uC = (0+) = uC (0-) = 0

Подставив в (3) значение uC = 0 и t = 0, получим

A = - UmxCsin(φ)/z

Уравнение напряжения на емкости в переходном режиме

uC = UmxCsin(ωt + φ)/z - UmxCsin(e-t/Cr )/z. (4)
Уравнение для тока можно получить тремя способами.

Первый способ: путем подстановки в (1) значения uC из (4):

i = UmxCsin(ωt + π/2)/r - UmxCsin(ωt + φ)/(z*r) + UmxCsin(φ e-t/Cr)/(z*r) (5)

Второй способ: значение тока в переходном режиме

i = iy + iCB

Д
ействующее значение установившегося тока

Мгновенное значение установившегося тока

iy = Um sin(ωt + π/2 + φ)/z

Свободная составляющая тока определяется из уравнения (1) без правой части, в которое вместо uC подставлено его значение


, т.е.


После дифференцирования получим r*(diCB/dt) + iCB/C = 0. Его решение iCB = Aept ,

где p = -1/Cr . Ток в цепи в переходном режиме i = iy + iCB = Umsin(ωt + π/2 + φ)/z + Ae-t/rC (6).



Постоянная интегрирования определяется из следующих соображений. После замыкания выключателя при t = 0 значение тока, как это вытека­ет из уравнения (1) ,

iНАЧ = Umsin(ωt + π/2)/r = Um/r , так как uC = 0 . Таким образом, после подстановки iНАЧ и t = 0 в (6) получим A = Um/r - Umsin(π/2 + φ)/z .

Уравнение тока i = Umsin(ωt + π/2 + φ)/z + [Um/r + Umsin(π/2 + φ )/z]*e-t/rC (7).

Третий способ: ток в цепи в переходном режиме

i = C*(duC/dt) = UmxCcos(ωt + φ)*Cω/z + UmxCC*sin φe-t/rC = Umsin(ωt + π/2 + φ)/z +

+ UmxC*sin φe-t/rC /zr (8).

Структура уравнений тока (5), (7), (8) не одинаковая, и может создаться впечатление, что характер изменения тока будет в цепи раз­личным. На самом деле уравнения отражают один и тот же характер изменения тока в цепи. Докажем, например, равенство свободных со­ставляющих тока уравнений (5) и (7):

UmxC*sin φ/zr = Um/r - Umsin(π/2 + φ )/z . (9)

Приведём к общему знаменателю правую часть равенства (9) и, сократив на Um , r и z, получим xC*sin φ = z - r*sin(π/2 + φ ) (10)

Подставив в (10) : sin φ = xC/z , sin(π/2 + φ ) = cos(φ) =r/z получим x2C/z = z - r2/z , откуда x2C/z = (z2 - r2)/z ; x2C = z2 + r2.

Напряжение на резисторе ur = ir = Um r*sin(ωt + π/2 + φ)/z + r[Um/r + Umsin(π/2 + φ )/z]*e-t/rC .



Случайные файлы

Файл
16638.rtf
91345.rtf
124900.rtf
9206-1.rtf
42816.rtf




Чтобы не видеть здесь видео-рекламу достаточно стать зарегистрированным пользователем.
Чтобы не видеть никакую рекламу на сайте, нужно стать VIP-пользователем.
Это можно сделать совершенно бесплатно. Читайте подробности тут.