5 вариант 3 задача (Задача)

Посмотреть архив целиком

Задача № 3.5


Частица массой находится в основном состоянии в двумерной квадратной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками. Найдите энергию частицы, если максимальное значение плотности вероятности местонахождения частицы равно .


Решение:


Частица находится в потенциальной яме, имеющей следующий вид:




Предположим, что сторона ямы равна .

Составим уравнение Шредингера для области :


(1)


или в виде:


(2)


где . Решение этого дифференциального уравнения имеет вид:


(3)


Используем естественные условия, накладываемые на пси-функцию. Вне области частица находиться не может, поэтому её пси-функция вне области равна нулю. Используя условие непрерывности, получим:


Тогда пси-функция примет вид:


(4)

Найдём вторые производные от пси-функции по x и по y:


(5)


Подставим эти производные в уравнение Шредингера (2):


(6)


Учитывая, что , получим:


(7)


Мы получили энергетический спектр частицы, находящейся в квадратной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками. Из выражения (7) видно, что энергия частицы зависит от двух квантовых чисел и . В таблице 1 приведены несколько возможных значений и и соответствующее им , которое определяет значение энергии.


Таблица 1.

уровня

1

1

1

2

2

1

2

5

2

1

3

2

2

8


Основному состоянию соответствуют значения .

Определим константу A в выражении для пси-функции (4), используя условие нормировки:


(8)


Тогда пси-функции собственных состояний имеют вид:


(9)


В основном состоянии , поэтому пси-функция имеет вид:


(10)


Плотность вероятности – это квадрат модуля пси-функции:


(11)


Графический вид плотности вероятности местонахождения частицы в основном состоянии представлен на рисунке 1:


Рисунок 1

Максимальное значение, которое принимает функция синус, это единица (Как нетрудно убедиться, координаты максимума функции плотности вероятности равны ). Поэтому максимальное значение плотности вероятности:


(12)


Исходя из энергетического спектра частицы в квадратной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками (7) и учитывая выражение (12), можем найти значение энергии частицы в основном состоянии :


(13)


Ответ:




Случайные файлы

Файл
136504.rtf
72754-1.rtf
114234.rtf
27173-1.rtf
71587-1.rtf




Чтобы не видеть здесь видео-рекламу достаточно стать зарегистрированным пользователем.
Чтобы не видеть никакую рекламу на сайте, нужно стать VIP-пользователем.
Это можно сделать совершенно бесплатно. Читайте подробности тут.