Готовые билеты неизвестного года (4)

Посмотреть архив целиком

Билет №25


3) Вычислить объем тела, образованного

вращением вокруг оси Ох плоской фигуры,

ограниченной линиями y=ln(x+1) y= -5 x=0


X+1=ey x=ey-1


V = π -50(ey-1)2dy =

= π -50(e2y-2ey+1)dy = - π ( e-10/2 – 2e-5-5) + π /2 - 2 π =

= - π (e-10/2– 2e-5-5 –1/2+2) = 3.5 π



4) Найти общее решение дифференциального уравнения y’’-6y’+13y=4cos(3x)


K2-6k+13k=0

D=-16

K1,2 = (6 +- 4i)/(2) = +-2i


Y1 = e3xcos2x

Y2 = e3xsin2x


Yчн = Acos3x+3sin3x

Y’чн = -3Acos3x+3Bsin3x

Y’чн = -9Acos3x - 9Bsin3x


-9Acos3x - 9Bsin3x - 6(-3Acos3x+3Bsin3x) +13(Acos3x+3sin3x) = 4cos3x


cos3x(-9A -12B+13A) +sin3x( -9B+18A+13B) =4cos3x


4A-18B=4

4B+18A=0


B = -9/2A

2A+81/2A=2

A=4/85

B= -18/85




















Билет №24


3) Проинтегрировать дифференциальное уравнение 2xyy’’=1+(y’)2 при начальных условиях y(1)=0 y’(1)=1


Y’=p 2xpp’=1+p2

2x=(1+ p2)/(pp’)

(2x)\(dx)=(p dp)/(1+p2)

1\2 (1\x)dx= (p dp)/( 1+p2)

ln |x| = d(p2+1)/(1+p2)

ln |x| = ln |1+p2| + ln |c1|

x =1+ p2+ c1

y’=Sqrt(x-1- c1)

y= Sqrt(x-1- c1)dx

y= Sqrt(x-1- c1)d(x-1- c1)

y=2/3(x-1- c1)+c2

c1 =-1

c2 =-2/3



4) Вычислить площадь поверхности,

образованной вращением вокруг

оси Ox одной арки циклоиды

X=t-sin t

Y=1-cos t


S =2π 0 (1-cos t) Sqrt((1-cost)2+sin2t) dt = 4π 0π (1-cost) Sqrt(2-2cost) dt=

= 8π 0π (1 -cos t )Sin t/2 dt = 16π 0π (sin3t/2) dt =

= 8π 0π(sin3t/2) d t/2 = -8π 0π(sin2t/2) d(cos t/2)= -8π 0π(1-cos2t/2) d(cos t/2) =

= -8π(cos t/2 0|π - 0π(cos2 t/2) d(cos t/2) = -8π(cos t/2 0|π – (cos3 t/2)/3 0|π =(16 π )/3


Билет № 23


3) Исследовать на сходимость интеграл 12(arctg(x) dx)/(x(x2-1)).


X=1 особая точка

Lim (arctx)/(x(x2-1))=

x1

Расходится.



4) Найти частное решение дифференциального уравнения yy’’=1-(y’)2 при начальных

условиях y(-2)=1 y’(-2)=0.


yy’’=1-( p(y)=y’

ypp’=1-p2 (pdp)/(1-p2)=dy/y

-1/2 d(1- p2)/( 1- p2) = ln(y)+lnC1

1-p2 = C1/ y2

p = y’ = Sqrt(1-C1/y2) 0 = Sqrt (1-C1/1) C1=1

y’ = Sqrt(1-1/y2) dy/Sqrt (1-1/y2) = dx

arcsin 1/y = x+C2 C2 = π /2 +2

arcsin 1/y = x+ π/2 +2


Билет №22.


3) Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной линиями r =1-cosf и r =1/2 (внутри кардиоиды и вне окружности ).


S=Sk-So , Skкардиоиды , So окружности.

Sk=0π (1- cos f )2 df =0π (1-2 cos f + cos2 f ) df =0π df - 2 0π cos f df + 0π cos 2 2f df =

= f 0|π –2sin f 0|π + 0π (1/2 +(cos2f)/2) df = f0|π –2sin f 0|π + 1/2 f 0|π +1/4 sin2f0|π =

= π + π /2=3/2 π

So= πR2= π/4 S = 6/4 π - π/4 = 5/4 π

4) Проинтегрировать дифференциальное уравнение y’’=y’/x – 1/2y при начальных условиях y(-2)=1 y’(-2)=0.

y’’=y’/x – 1/2y p(x)=yp’(x)=y’’

p’=p/x – 1/(2p) - делим на p-1 pp’=p2 /x – 1/2

U=p2 U’=2ppU’/2=U/x-1/2 U’/2=U/x

dU/U=2dx/x lnU=2lnx+c U=Cx2 U=C(x) X2

U’=2xC(x)+C’(x)x2 xC(x) + (C’(x)x2)/2=C(x)x- 1/2

C’(x)=-1/x2 C=1/x + C U=(1/2+C)x2 =p2

P=y’=Sqrt(x+xC) 1= Sqrt(1+C) C=0

Y=Sqrt(x)dx = 2/3*x*Sqrt(x)+C2 2/3=2/3 + C2 C2=0

Билет № 21


3)Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной линиями y=Sqrt(x+4), y=2-Sqrt(x), y=0

S=-40Sqrt(x+4)+ 04Sqrt(x+4) - 012-Sqrt(x)=2(x+4)3/2-1|0 – 2/3(x+4)3/20|4-(2x-3x3/2/2) 0|4=

=16/3+32Sqrt(2)/3 – 8=12,4



4) Найти общее решение дифференциального уравнения y’’-2y’+y=10ex+6x-2 .


y’’-2y’+y=10ex+6x-2


Корни характеристического уравнения k1=1, k2=1.


f(x)=f1(x)+f2(x)


f1(x)=Ax2ex


f2(x)=Bx+C


yчн= Ax2ex+ Bx+C

yчн’= 2Axex+ Ax2ex +B

yчн’’= 2Aex+ 2Axex +2Axex +Ax2ex


2Aex +2Axex + 2Axex + Axex –2(2Axex +Ax2ex +B)+ Ax2ex + Bx +C =10ex+6x-2

2Aex+ Bx+2B+C=10ex+6x-2


A=5 B=5 12+C= -2 C= -14


yчн= 5x2ex+ 6x – 14

yoн=C1(x)ex+C2(x)x ex +5x2ex+ 6x – 14














Билет 7

3) Вычислить обьем тела, образованного вращением вокруг оси OX плоской фигуры, ограниченой линиями X=Y2-2Y+1 и X=1

Заменяем Y на X и X на Y

Y=X2-2X+1, Y=1 и вращение вокруг OY

VY=2abXydX, X2-2X+1=1 => X(X-2)=0, X1=0, X2=2

V=202X(X2-2X+X)dX = 202(X3-2X2+X)dX=2(X4/4-2X3/3+X2/2)0|2 =

=2(4-16/3+2)= 2(18/3-16/3)= 4/3

Ответ. 4/3


4) Проинтегрировать дифференциальное уравнение Y*Y’’+(Y’)2=(Y’)3 при начальных условиях Y(0)=1, Y’(0) = 1


Обозначаем y’=P(y), y’’=P*dP/dy, y*PdP/dy+P2=P3, P=0-тривиальное решение

y*dP/dy+P=P2, dP/(P2-P)=dy/y, dP/(P2-P+1/4-1/4)=dy/y,

d(P-1/2)/((P-1/2)2-(1/2)2)= dy/y

1/(2*(1/2))*ln|(P-1/2-1/2)/(P-1/2+1/2)|=lny+lnC1

(P-1)/P=C1y => 1-1/P=C1y, P=1/(1-C1y), y’=1/(1-C1y), dy/dx=1/(1-C1y)

(1-C1y)dy=dx y-C1y2/2=x+C2 1=1/(1-C1)=>C1=0, y=x+C2 =>

=> C2=1 => y=x+1













Билет 6

3) Вычислить площадь фигуры, расположенной вне окружности r=1 и одновременно внутри лемнискаты r2=2cos2


cos2=1/2, 2=/3, => =/6

S=S1-S2=1/20/64cos22 d - (/6)/(2)*r2=20/6(1+cos4)/2 d-/12=

=2(1/2*+1/8*sin4)0|/6-/12=/12+sqrt(3)/8

ответ.S’=4S=/12+sqrt(3)/8


4) Найти общее решение: y’’+4y=x+cos2x


хар-е ур-е: k2+4k=0, k1=0, k2=-4, r=1 yoo=C1e0X+C2e-4X

f1(x)=x, y1=x(Ax+B)

f2(x)=cos2x, y2=Dcos2x+Fsin2x

y=C1+C2e-4x+x(Ax+B)+Dcos2x+Fsin2x

























Билет 8

3) Фигура, ограниченная линиями y=sqrt(x) и y=x, вращается вокруг оси OX.

Вычислить площадь всей поверхности полученного тела.


Sx=2ab1 => X(X-2)=0, X1=0, X2=2

S=S1+S2=201sqrt(x(1+(1/2sqrt(x))2) dx + 201x*sqrt(1+12) dx=

201sqrt(x+1/4) dx + 2*sqrt(2)* *x2/2 0|1= 2*(-2)/sqrt(x+1/4) 0|1+sqrt(2)* =

=-8/sqrt(5)+8+sqrt(2)* =(8+sqrt(2)-8/sqrt(5))


4) Найти общее решение дифференциального уравнения y’’+y=1/cos3x


общее решение: y’’+y=1/cos3x

y’’+y=0, k2+1=0 , k=+-i

yoo=e0x(C1cosx+C2sinx)

yoo=C1(x)cosx+C1(x)sinx

C1’(x)*cosx+ C2’(x)*sinx=0

- C1’(x)*sinx+ C2’(x)*cosx=1/cos3x

C1’+ C2’tg(x)=0

- C1’+ C2’ctg(x)=1/(sinx*cos3x)

C2’(tg(x)+ctg(x))=1/(sinx*cos3x)

C2’((sin2x+cos2x)/(sinx*cosx))=1/(sinx*cos3x)

C2’=1/cos2x

C2=tg(x)+A

C1’= - tg(x)/cos2x

C1=d(cosx)/cos3x= - 1/(2cos2x)+B








Случайные файлы

Файл
12168.rtf
100481.rtf
34087.rtf
12203.rtf
22915-1.rtf




Чтобы не видеть здесь видео-рекламу достаточно стать зарегистрированным пользователем.
Чтобы не видеть никакую рекламу на сайте, нужно стать VIP-пользователем.
Это можно сделать совершенно бесплатно. Читайте подробности тут.