Готовые билеты неизвестного года (1)

Посмотреть архив целиком

Билет№1


  1. y=2ln(x-2)

y=ln(x)

y=0



2ln(x-2)=ln(x)

ln(x-2)2=ln(x) ОДЗ : x-2>0

x>2

(x-2)2=ln(x)

(x-2)2=x

x2 –4x+4=x

x2-5x+4=0

x1 = 1 ; x2 = 4 ;

Точка пересечения: x=4

( Вывод формулы (ln(x)dx) = x(lnx-1): )

( (ln(x)dx) = u*dv = xln(x)- (x*d(ln(x))) = xln(x)-(x*(1/x)) = x(lnx-1) )

4

S1 =14 (ln(x)dx)= x(lnx-1)1 = 4(ln4-1)-ln1-1 = 4ln4-4-1 = 4ln4-5;

4

S2 = 2*(34(ln(x-2)dx)) = 2*(34(ln(x-2)d(x-2))) = 2(x-2)(ln(x-2)-1) 1 =

= 2*2(ln2-1)-2ln1= 4ln2-4;

Искомая площадь:

S = S1-S2 = 2ln2-5-4ln2+4 = 2(ln4-ln2)-1 = 4ln2-1

Ответ: S = 4ln2-1.


  1. 1 = 1 2 = 2 3 = i 4 = -i

(x-1)(x-2)(x-i)(x+i) = 0

(x2-3x+2)(x2+1) = 0;

x4+x2-3x3-3x+2x2+2 = 0

x4-3x3+3x2-3x+2 = 0

y-3y+3y-3y+2y = 0


y1=ex; y2=e2x; y3 =e0 cos(x) = cos(x); y4 = sin(x);

Общее решение составленного дифференциального уравнения:

Y = c1y1+c2y2+c3y3+c4y4 = c1ex+c2e2x+c3cos(x)+c4sin(x) ;


Ответ: Y = c1y1+c2y2+c3y3+c4y4 = c1ex+c2e2x+c3cos(x)+c4sin(x) ;








Билет№2

1.

Y = 1+x2

Y = 3-x2

V=2V1

1+x2 = 3-x2

2x2-2 = 0

x2-1 = 0

x1 = -1 ; x2 = 1;

V1 = V2 –V3

V2 = *01 ((3-x2)2 dx) = *01 ((9-6x2+x4)dx) = (9*01(dx)-6*01(x2dx) +01(x4dx)) =

1

= (9x-2x3+(x5/5))0 = (9-2+(1/5)) = (36/5)

1

V3=*01(1+x2)2dx = (01dx+201(x2dx)+ *01(x4dx) = (x+(2/3)*x3+(x5/5))0 =

= (1+(2/3)+(1/5)) = (28/15)

V1 = V2 –V3 = (36/5) - (28/15) = (90/15) = 6

Ответ: объём вращения V=6

  1. y+9y = (1/sin33x)

Найдем общее решение однородного дифференциального уравнения

y+9y = 0

Составим характеристическое уравнение: k2+9 = 0

k2 = -9 ; k1 = -3i ; k2 = 3i ;

Фундаментальная системы решений: y1 = cos3x y2 = sin3x

Общее решение однородного уравнения: yo.o = c1cos(3x) +c2sin(3x)

Общее решение неоднородного уравнения в виде:

yo = c1(x) cos(3x) +c2(x)sin(3x) , где c1(x),c2(x)- неизвестные функции

Функции c1(x),c2(x) определяем из системы c1(x) cos(3x) +c2(x)sin(3x) = 0

-3c1sin(3x)+3c2(x)cos(3x) = 1/sin3(3x)

****************************************************

c1(x) cos(3x)+c2(x)sin(3x) = 0

c2(x)cos(3x)-c1(x)sin(3x) = 1/sin3(3x)

****************************************************

c2 (x) = (-c1(x) cos(3x))/sin(3x)

(-c1(x)- cos2(3x))/sin(3x)- c1(x)sin(3x) = 1/sin3(3x)

(-c1(x) (cos2(3x)+ sin2(3x))/sin(3x)- c1(x)sin(3x) = 1/sin3(3x)

c1(x) = -1/sin3(3x) ; c2 (x) = (1/sin3(3x))*cos(3x) = cos(3x)/sin3(3x);

c1(x) =(1/3)ctg(x)+c1 ;

c2 (x) = ((cos3x/sin3x)*dx) = (d(sin3x)/sin33x ) =(1/3)*((sin-3(3x)* d(sin3x))

= -1/(6*sin2(3x)) +c2

Общее решение неоднородного уравнения:

Yо.н.= ctg(x)cos(3x) + c1cos(3x) + c2sin(3x) – 1/(6*sin(3x))

Ответ:

Yо.н.= (1/3)*(cos2(3x)/(sin(3x))-1/(6*sin(3x))+c1cos(3x)+c2sin(3x) = cos(6x)/3sin(3x)+ c1cos(3x) ++ c2sin(3x)


Билет№4


1) y = 1+x2 ;

y = 5;

1+x2 = 5

x2-4 = 0

x1 = -2; x2 = 2;

Vy = 2ab (xf(x)dx) ; a>=0;

V = 202 (x*(1+x2) dx) = 2(02 (xdx)+ 02 (x2dx)) =

2

= 2(x2/2)+(x3/3)0 =2 (4/2+8/3) = 2(2+8/3) = = (28/3)

Ответ: (28/3).


2) y-2y+2y = ex/sin3x

y-2y+2y = 0

k2-2k+2 = 0

D = 4-4*2 = -4;

k1 = (2-2i)/2 = 1-i; k2 = 1+i;

Фундаментальная система решений:

y1 = excos(x); y2 = exsin(x);

yo.o. = c1excos(x) + c2exsin(x);

Общее решение неоднородного уравнения ищем в виде

yo.н. = c1(x)excos(x) + c2(x)exsin(x);

c1(x), c2(x) находим их системы:

c1(x)excos(x)+c2(x)exsin(x) = 0

c1(x)(excos(x)-exsin(x))+ c2(x)(exsin(x)+excos(x)) = ex/sin3(x);


c1(x) = (-sin(x)/cos(x))*c2(x);

(-sin(x)/cos(x))*c2(x)* (excos(x)-exsin(x))+ c2(x)(exsin(x)+excos(x)) = ex/sin3(x);

-c2(x)* exsin(x)+ c2(x)*((ex*sin2(x))/cos(x)) + c2(x)* exsin(x)- c2(x)* excos(x) = (ex/sin3x);

c2(x) ex ((sin2(x)+cos2(x))/cos(x)) = ex/sin3(x);

c2(x) = cos(x)/sin3(x);

c1(x) = (-sin(x)/cos(x))*(cos(x)/sin3(x)) = -1/sin2(x);

c2(x) = ( (cos(x)/sin3(x))dx) = (d(sin(x))/sin3(x)) = -1/(2sin2(x) +c2;

c1(x) = ctg(x) +c1;

yо.н. = (cos(x)/sin(x)+c1)* excos(x) + (-1/(2sin2(x))+c2)*exsin(x) =

= (cos2(x)*ex)/sin(x) +c1excos(x)-ex/(2sin(x))+c2exsin(x) =

= (2cos2(x)-1)*ex)/sinx + c1excosx +c2exsinx =(cos(2x) *ex)/sin(x)+c1excosx+c2exsinx

Ответ: (cos(2x) *ex)/sin(x)+c1excosx+c2exsinx










Билет №3.



3) y=1–x2, y>0 Sпов=?

4)

ФСР:

Общее решение неоднородного уравнения ищем в виде:


с1(х), с2(х) определяем из системы:


Тогда:

Ответ :





Билет № 5


3)


Найдем точку пересечения:

Ответ:

Площадь равна




4)

ФСР:

Общее решение однородного уравнения:


(продолжение билета № 5)


Частное решение: