Сигналы и их характеристики (48941)

Посмотреть архив целиком

Тема: "Сигналы и их характеристики"


Сигнал - физический процесс, отображающий сообщение. В технических системах чаще всего используются электрические сигналы. Сигналы, как правило, являются функциями времени.


1. Классификация сигналов


Сигналы можно классифицировать по различным признакам:

1. Непрерывные (аналоговые) - сигналы, которые описываются непрерывными функциями времени, т.е. принимают непрерывное множество значений на интервале определения. Дискретные - описываются дискретными функциями времени т.е. принимают конечное множество значений на интервале определения.

Детерминированные - сигналы, которые описываются детерминированными функциями времени, т.е. значения которых определены в любой момент времени. Случайные - описываются случайными функциями времени, т.е. значения которых в любой момент времени является случайной величиной. Случайные процессы (СП) можно классифицировать на стационарные, нестационарные, эргодические и неэргодические, а так же, гауссовы, марковские и т.д.

3. Периодические - сигналы, значения которых повторяются через интервал, равный периоду


х (t) = х (t+nT), где n = 1,2,...,; T - период.


4. Kаузальные - сигналы, имеющие начало во времени.

5. Финитные - сигналы конечной длительности и равные нулю вне интервала определения.

6. Когерентные - сигналы, совпадающие во всех точках определения.

7. Ортогональные - сигналы противоположные когерентным.


2. Характеристики сигналов


1. Длительность сигнала (время передачи) Тс - интервал времени, в течении которого существует сигнал.

2. Ширина спектра Fc - диапазон частот, в пределах которых сосредоточена основная мощность сигнала.

3. База сигнала - произведение ширины спектра сигнала на его длительность.

4. Динамический диапазон Dc - логарифм отношения максимальной мощности сигнала - Pmax к минимальной - Pmin (минимально-различи-мая на уровне помех):


Dc = log (Pmax/Pmin).


В выражениях, где может быть использованы логарифмы с любым основанием, основание логарифма не указывается.

Как правило, основание логарифма определяет единицу измерения (например: десятичный - [Бел], натуральный - [Непер]).

5. Объем сигнала определяется соотношением Vc = TcFcDc.

6. Энергетические характеристики: мгновенная мощность - P (t); средняя мощность - Pср и энергия - E. Эти характеристики определяются соотношениями:


P (t) = x2 (t); ; (1)


где T = tmax-tmin.


3. Математические модели случайных сигнлов


Детерминированное, т.е. заранее известное сообщение, не содержит информации, т.к получателю заранее известно, каким будет переда-ваемый сигнал. Поэтому сигналы носят статистический характер [11].

Случайный (стохастический, вероятностный) процесс - процесс, который описывается случайными функциями времени.

Случайный процесс Х (t) может быть представлен ансамблем неслучайных функций времени xi (t), называемых реализациями или выборками (см. рис.1).

X(t)



x1(t)

x2(t)



xn(t)


0 t1 t2 t










Рис.1. Реализации случайного процесса X (t)


Полной статистической характеристикой случайного процесса является n - мерная функция распределения: Fn (x1, x2,..., xn; t1, t2,..., tn), или плотность вероятности fn (x1, x2,..., xn; t1, t2,..., tn).

Использование многомерных законов связанно с определенными трудностями,поэтому часто ограничиваются использованием одномерных законов f1 (x, t), характеризующих статистические характеристики случайного процесса в отдельные моменты времени, называемые сечениями случайного процесса или двумерных f2 (x1, x2; t1, t2), характеризующих не только статистические характеристики отдельных сечений, но и их статистическую взаимосвязь.

Законы распределения являются исчерпывающими характеристиками случайного процесса, но случайные процессы могут быть достаточно полно охарактеризованы и с помощью, так называемых, числовых характеристик (начальных, центральных и смешанных моментов). При этом наиболее часто используются следующие характеристики: математическое ожидание (начальный момент первого порядка)


; (2)


средний квадрат (начальный момент второго порядка)


; (3)


дисперсия (центральный момент второго порядка)


; (4)


корреляционная функция, которая равна корреляционному моменту соответствующих сечений случайного процесса


. (5)


При этом справедливо следующее соотношение:


(6)


Стационарные процессы - процессы, в которых числовые характеристики не зависят от времени.

Эргодические процессы - процесс, в которых результаты усреднения и по множеству совпадают.

Гауссовы процессы - процессы с нормальным законом распределения:


(7)


Этот закон играет исключительно важную роль в теории передачи сигналов, т.к большинство помех являются нормальными.

В соответствии с центральной предельной теоремой большинство случайных процессов являются гауссовыми.

Марковский процесс - случайный процесс, у которых вероятность каждого последующего значения определяется только одним предыдущим значением.


4. Формы аналитического описания сигналов


Сигналы могут быть представлены во временной, операторной или частотной области, связь между которыми определяется с помощью преобразований Фурье и Лапласа (см. рис.2).

Преобразование Лапласа:


L: L-1: (8)


Преобразования Фурье:


F: F-1: (9)


L:

L-1:

F-1 : p=j

F: j=p

Рис.2 Области представления сигналов


При этом могут быть использованы различные формы представления сигналов с виде функций, векторов, матриц, геометрическое и т.д.

При описании случайных процессов во временной области используется, так называемая, корреляционная теория случайных процессов, а при описании в частотной области - спектральная теория случайных процессов.

С учетом четности функций и и в соответствии с формулами Эйлера:


(10)


можно записать выражения для корреляционной функции Rx () и энергетического спектра (спектральной плотности) случайного процесса Sx (), которые связанны преобразованием Фурье или формулами Винера - Хинчина


; (11)

. (12)


5. Геометрическое представление сигналов и их характеристик


Любые n - чисел можно представить в виде точки (вектора) в n -мерном пространстве, удаленной от начала координат на расстоянии D,


где . (13)


Сигнал длительностью Tс и шириной спектра Fс, в соответствии с теоремой Котельникова определяется N отсчетами, где N = 2Fc Tc.

Этот сигнал может быть представлен точкой в n - мерном пространстве или вектором, соединяющим эту точку с началом координат [5].

Длина этого вектора (норма) равна:


; (14)


где xi = x (nt) - значение сигнала в момент времени t = n. t.

Допустим: X - передаваемое сообщение, а Y - принимаемое. При этом они могут быть представлены векторами (рис.3).


X2 ,Y2

x2 X


d

y2 Y



X1 , Y1

0 1 2 x1 y1

Рис.3. Геометрическое представление сигналов


Определим связи между геометрическим и физическим представлением сигналов. Для угла между векторами X и Y можно записать


cos = cos (1-2) = cos1 cos2 + sin1 sin2 =

= (15)


Для N - отсчетов:


cos (16)


Найдем модуль формального вектора. Для этого рассмотрим кванто-ванный сигнал (рис. 4).


X






0 t t

T





Рис. 4. График сигнала


Рис.4. График сигнала


Средняя мощность сигнала


.


Энергия сигнала


.


Энергия кванта


.


Энергию квантованного сигнала можно определить по формуле


.


При этом модуль сигнала равен


.


Взаимная корреляционная функция равна


.


При этом


.


Это нормированная корреляционная функция


Если  = 90о, то xy () = 0 - сигналы ортогональны, т.е. независимы;

Если  = 0, то xy () = 1 - передаваемый сигнал равен принятому;

Вектор d - характеризует (помеху) ошибку. Определим дисперсию ошибки:



По вектору ошибки определяют, допустима ли ее величина.


Список литературы


  1. Hayes, M. H. Statistical Digital Signal Processing and Modeling. New York: John Wiley & Sons, 1996.

  2. Баскаков С.И. Радиотехнические цепи и сигналы: Учеб. для вузов по спец. "Радиотехника". - М.: Высш. шк., 2000.

  3. Голд Б., Рэйдер Ч. Цифровая обработка сигналов / Пер. с англ., под ред.А.М. Трахтмана. - М., "Сов. радио", 1973, 368 с.

  4. Гринченко А.Г. Теория информации и кодирование: Учебн. пособие. - Харьков: ХПУ, 2000.

  5. Карташев В.Г. Основы теории дискретных сигналов и цифровых фильтров. - М.: Высш. шк., 1982.

  6. Колесник В.Д., Полтырев Г.Ш. Курс теории информации. -М.: Наука, 1982.

  7. Куприянов М.С., Матюшкин Б.Д. - Цифровая обработка сигналов: процессоры, алгоритмы, средства проектирования. - СПб.: Политехника, 1999.

  8. Марпл С.Л. Цифровой спектральный анализ. М.: Мир, 1990.

  9. Рудаков П. И, Сафонов В.И. Обработка сигналов и изображений Matlab 5. x. Диалог-МИФИ. 2000.

  10. Сергиенко А.Б. Цифровая обработка сигналов. - СПб.: Питер, 2002.






Чтобы не видеть здесь видео-рекламу достаточно стать зарегистрированным пользователем.
Чтобы не видеть никакую рекламу на сайте, нужно стать VIP-пользователем.
Это можно сделать совершенно бесплатно. Читайте подробности тут.