Нелинейное программирование (47732)

Посмотреть архив целиком

Южно-Уральский Государственный Университет

Кафедра АиУ














реферат на тему:



Нелинейное программирование











Выполнил: Пушников А. А., ПС-263.

Проверил: Разнополов О.А.












Челябинск – 2003.


Оглавление


  1. Постановка задачи нелинейного программирования

  2. Критерии оптимальности в задачах с ограничениями

    1. Задачи с ограничением в виде равенств

    2. Множители Лагранжа

  3. Условия Куна-Таккера

    1. Условия Куна-Таккера и задача Куна-Таккера

    2. Интерпретация условий Куна-Таккера

    3. Теоремы Куна-Таккера

  4. Функции нескольких переменных

    1. Методы прямого поиска

      1. Метод поиска по симплексу (S2 - метод)

      2. Метод поиска Хука-Дживса


1. Постановка задачи нелинейного программирования.


В задаче нелинейного программирования (НЛП) требуется найти значение многомерной переменной х=(), минимизирующее целевую функцию f(x) при условиях, когда на переменную х наложены ограничения типа неравенств

, i=1,2,…,m (1)

а переменные , т.е. компоненты вектора х, неотрицательны:

(2)

Иногда в формулировке задачи ограничения (1) имеют противоположные знаки неравенств. Учитывая, однако, что если , то , всегда можно свести задачу к неравенствам одного знака. Если некоторые ограничения входят в задачу со знаком равенства, например , то их можно представить в виде пары неравенств , , сохранив тем самым типовую формулировку задачи.


2. Критерии оптимальности в задачах с ограничениями.


Ряд инженерных задач связан с оптимизацией при наличии некоторого количества ограничений на управляемые пере­менные. Такие ограничения существенно уменьшают размеры об­ласти, в которой проводится поиск оптимума. На первый взгляд может показаться, что уменьшение размеров допустимой области должно упростить процедуру поиска оптимума. Между тем, напро­тив, процесс оптимизации становится более сложным, поскольку установленные выше критерии оптимальности нельзя использовать при наличии ограничений. При этом может нарушаться даже ос­новное условие, в соответствии с которым оптимум должен достигаться в стационарной точке, характеризующейся нулевым гра­диентом. Например, безусловный минимум функции имеет место в стационарной точке х=2. Но если задача минимиза­ции решается с учетом ограничения , то будет найден условный минимум, которому соответствует точка x=4. Эта точка не является стационарной точкой функции f, так как (4)=4. Далее исследуются необходимые и достаточные условия оптимальности решений задач с ограничениями. Изложение начинается с рассмот­рения задач оптимизации, которые содержат только ограничения в виде равенств.


2.1. Задачи с ограничениями в виде равенств


Рассмотрим общую задачу оптимизации, содержащую несколь­ко ограничений в виде равенств:

Минимизировать

при ограничениях , k=1,…,n

Эта задача в принципе может быть решена как задача безусловной оптимизации, полученная путем исключения из целевой функции k независимых переменных с помощью заданных равенств. Наличие ограничений в виде равенств фактически позволяет уменьшить размерность исходной задачи с n до n-k.. В качестве иллюстрации рассмотрим следующий пример.

Пример 1

Минимизировать

при ограничении

Исключив переменную , с помощью уравнения , получим

оптимизационную задачу с двумя переменными без ограничений

min

Метод исключения переменных применим лишь в тех случаях, когда уравнения, представляющие ограничения, можно разрешить относительно некоторого конкретного набора независимых пере­менных. При наличии большого числа ограничений в виде равенств, процесс исключения переменных становится весьма трудоемкой процедурой. Кроме того, возможны ситуации, когда уравнение не удается разрешить относительно переменной. В частности, если в примере 1 ограничение задать в виде

то получить аналитическое выражение какой-либо из переменных через другие не представляется возможным. Таким образом, при решении задач, содержащих сложные ограничения в виде равенств, целесообразно использовать метод множителей Лагранжа, описа­ние которого дается в следующем разделе.


2.2. Множители Лагранжа


С помощью метода множителей Лагранжа по существу устанавливаются необходимые условия, позволяющие идентифицировать точки оптимума в задачах оптимизации с ограничениями в виде ра­венств. При этом задача с ограничениями преобразуется в эквива­лентную задачу безусловной оптимизации, в которой фигурируют некоторые неизвестные параметры, называемые множителями Ла­гранжа.

Рассмотрим задачу минимизации функции n переменных с уче­том одного ограничения в виде равенства:

Минимизировать (3)

при ограничениях (4)

В соответствии с методом множителей Лагранжа эта задача преобразуется в следующую задачу безусловной оптимизации:

минимизировать L(x,u)=f(x)-u*h(x) (5)

Функция L(х;u) называется функцией Лагранжа, u — неизвест­ная постоянная, которая носит название множителя Лагранжа. На знак u никаких требований не накладывается.

Пусть при заданном значении u=u0 безусловный минимум функ­ции L(x,u) по х достигается в точке и удовлетворяет урав­нению . Тогда, как нетрудно видеть, x0 минимизирует (1) с учетом (4), поскольку для всех значений х, удовлетворяющих (4), и L(x,u)=min f(x).

Разумеется, необходимо подобрать значение u=u° таким обра­зом, чтобы координата точки безусловного минимума х° удовлетво­ряла равенству (4). Это можно сделать, если, рассматривая u как переменную, найти безусловный минимум функции (5) в виде функции u, а затем выбрать значение u, при котором выполняется равенство (4). Проиллюстрируем это на конкретном примере.

Пример 2

Минимизировать

при ограничении =0

Соответствующая задача безусловной оптимизации записывается в следующем виде:

минимизировать L(x,u)= -u

Решение. Приравняв две компоненты градиента L к нулю, получим

Для того чтобы проверить, соответствует ли стационарная точка х° минимуму, вычислим элементы матрицы Гессе функции L(х;u), рассматриваемой как функция х,

,

которая оказывается положительно определенной. Это означает, что L(х,,u) — выпуклая функция х. Следовательно, координаты , определяют точку глобального минимума. Оптималь­ное значение u находится путем подстановки значений и в урав­нение =2, откуда 2u+u/2=2 или . Таким образом, условный минимум достигается при и и равен min f(x)=4/5.

При решении задачи из примера 2 мы рассматривали L(х;u) как функцию двух переменных и и, кроме того, предполагали, что значение параметра u выбрано так, чтобы выполнялось ограни­чение. Если же решение системы

, j=1,2,3,…,n

в виде явных функций u получить нельзя, то значения х и u нахо­дятся путем решения следующей системы, состоящей из n+1 урав­нений с n+1 неизвестными:

, j=1,2,3,…,n

Для нахождения всех возможных решений данной системы можно использовать численные методы поиска (например, метод Ньютона). Для каждого из решений () сле­дует вычислить элементы матрицы Гессе функции L, рассматри­ваемой как функция х, и выяснить, является ли эта матрица поло­жительно определенной (локальный минимум) или отрицательно определенной (локальный максимум).

Метод множителей Лагранжа можно распространить на случай, когда задача имеет несколько ограничений в виде равенств. Рас­смотрим общую задачу, в которой требуется

Минимизировать f(x)

при ограничениях =0, k=1, 2, ..., К.

Функция Лагранжа принимает следующий вид:

L(x,u)=f(x)-

Здесь —множители Лагранжа, т.е. неизвестные параметры, значения которых необходимо определить. Приравни­вая частные производные L по х к нулю, получаем следующую систему n уравнении с n неизвестными:

………..

Если найти решение приведенной выше системы в виде функций вектора u оказывается затруднительным, то можно расширить систему путем включения в нее ограничений в виде равенств


Решение расширенной системы, состоящей из nуравнений с nнеизвестными, определяет стационарную точку функции L. Затем реализуется процедура проверки на минимум или максимум, которая проводится на основе вычисления элементов матрицы Гессе функции L, рассматриваемой как функция х, подобно тому, как это было проделано в случае задачи с одним ограничением. Для некоторых задач расширенная система nуравнений с n+K неизвестными может не иметь решений, и метод множителей Лагранжа оказывается неприменимым. Следует, однако, отметить, что такие задачи на практике встречаются достаточно редко.


3. Условия Куна-Таккера


В предыдущем разделе было установлено, что множители Лаг­ранжа можно использовать при построении критериев оптималь­ности для задач оптимизации с ограничениями в виде равенств. Кун и Таккер обобщили этот подход на случай общей задачи нели­нейного программирования с ограничениями, как в виде равенств, так и в виде неравенств.


Случайные файлы

Файл
12157.rtf
159765.rtf
154526.rtf
135660.doc
101064.rtf




Чтобы не видеть здесь видео-рекламу достаточно стать зарегистрированным пользователем.
Чтобы не видеть никакую рекламу на сайте, нужно стать VIP-пользователем.
Это можно сделать совершенно бесплатно. Читайте подробности тут.