Всё для экзамена (для КПК) и не только (шпора)

Посмотреть архив целиком

1 билет

1. Доказать интегральную формулу Коши

Интегральная формула Коши



Пусть функция аналитическая в односвязной области G . Пусть кусочно-гладкий контур L принадлежит G вместе со своей внутренностью D . Пусть , тогда



Доказательство. По интегральной теореме Коши для многосвязной области

=, где - окружность с центром в точке , радиусом , . Радиус окружности выбран достаточно малым, чтобы окружность целиком лежала в области D. Так как (важный пример в предыдущей лекции), то . Оценим || =

= ||

(на окружности , , так как . По непрерывности функции ).

. В силу произвольности || = 0. Следовательно, .




2. Доказать теорему о дифференцировании оригинала

Теорема о дифференцировании оригинала.

Пусть - оригинал. Тогда .


Доказательство. , так как .


Следствие. Если - оригинал, то .

Доказательство.

.

2 билет.

1. Доказать теорему о производной аналитической функции

Теорема. Аналитическая функция является бесконечно дифференцируемой в области аналитичности.

Доказательство. Можно показать, что интеграл в интегральной формуле Коши можно дифференцировать по z0, как по параметру. Проводя это дифференцирование нужное число раз, получим формулу для n – ой производной аналитической функции.


, , ….

. Это - формула для n – ой производной аналитической функции.

С помощью полученных формул (деля обе части на коэффициент перед интегралом) можно вычислять интегралы вида