Архив шпаргалок (28)

Посмотреть архив целиком

Билет №28

Соленоидальное поле и его свойства.

Векторное поле называется соленоидальным в области V, если в любой точке M этой области

Свойства соленоидального поля.


1. Для того чтобы поле было соленоидальным, необходимо и достаточно, чтобы поток через любую замкнутуюповерхность равнялся нулю.


Необходимость следует из формулы Остроградского – Гаусса, достаточность – из инвариантного определения дивергенции.


2. Поток соленоидального поля через любую поверхность, окружающую изолированный источник или сток, один и тот же.



Рассмотрим две замкнутых поверхности и , окружающие изолированный источник (сток). Будем считать векторное поле соленоидальным в пространственной области между поверхностями. Рассечем поверхности плоскостью P и выберем на ней «верхнюю» сторону плоскости и «нижнюю» сторону, введем на плоскости вектор нормали от «нижней» стороны к «верхней». Плоскость разделяет поверхности на «верхние» и «нижние» части. Обозначим на них направления внешних нормалей к поверхностям.

Рассмотрим две пространственных области. Одна из них лежит выше плоскости и ограничена верхними частями поверхностей и верхней частью плоскости. Вторая ограничена нижними частями поверхностей и нижней частью плоскости.

В той и другой области поле соленоидально. Следовательно, поток векторного поля через границы этих областей равен нулю.

,

.

Складывая эти выражения, получим .

3. Поток соленоидального поля через произвольное сечение векторной трубки один и тот же.


Обозначим Sбок –боковую поверхность векторной трубки. На боковой поверхности направления нормали и векторного поля ортогональны, так как векторная трубка образована векторными линиями, а вектор поля направлен по касательной к векторной линии. Поэтому поток векторного поля через боковую поверхность векторной трубки равен нулю (ПSбок.= 0).

Учитывая направления нормалей и вектора поля на сечениях векторной трубки S1 и S2, а также соленодальность поля, получим

.

Следствие. Векторные линии соленоидального поля не могут начинаться и заканчиваться внутри поля.

В самом деле, иначе конечный поток приходился бы на нулевую площадь источника или стока, что требовало бы бесконечной мощности источника или стока.





Опр-ие. Непрерывные на отр ф-ии и называются ортогональными на этом отрезке, если .

Другими словами, мы вводим понятие скалярного произведения функций на множестве функций, непрерывных на отрезке . Это скалярное произведение будем обозначать символом : . Функции и ортогональны на отрезке , если их скалярное произведение = 0.

Теорема (неравенство Бесселя) . Если квадрат функции f интегрируем по промежутку ,то числовой ряд

сходится и имеет место неравенство

Теорема (равенство Парсеваля). Пусть -- полная ортонормированная система векторов в гильбертовом пространстве H. Тогда для любых векторов x и y из H справедливо равенство

где и являются коэффициентами Фурье векторов x и y соответственно. В частности



Случайные файлы

Файл
138144.rtf
174129.rtf
157553.rtf
175256.rtf
nominaly_Philips.doc




Чтобы не видеть здесь видео-рекламу достаточно стать зарегистрированным пользователем.
Чтобы не видеть никакую рекламу на сайте, нужно стать VIP-пользователем.
Это можно сделать совершенно бесплатно. Читайте подробности тут.