Архив шпаргалок (15)

Посмотреть архив целиком

Билет №15

1. Криволинейный интеграл 1ого рода.

Пусть в пространстве переменных x,y,z задана кусочно-гладкая кривая , на которой определена функция f(x,y,z). Разобьём кривую точками на частей, на каждой из дуг выберем произвольную точку , найдём и длину дуги , и составим интегральную сумму . Если существует предел последовательности интегральных сумм при , не зависящий ни от способа разбиения кривой на дуги , ни от выбора точек , то функция f(x,y,z) называется интегрируемой по кривой L, а значение этого предела называется криволинейным интегралом первого рода, или криволинейным интегралом по длине дуги от функции f(x,y,z) по кривой L, и обозначается (или ).

Теорема существования. Если функция f(x,y,z) непрерывна на кусочно-гладкой кривой L, то она интегрируема по этой кривой.

Случай замкнутой кривой. В этом случае в качестве начальной и конечной точки можно взять произвольную точку кривой. Замкнутую кривую в дальнейшем будем называть контуром и обозначать буквой С. То, что кривая, по которой вычисляется интеграл, замкнута, принято обозначать кружочком на знаке интеграла: .

Механические приложения. Масса m материальной кривой с плотностью (x,y,z) вычисляется по формуле .

Стат моменты и коорд центра масс. Пусть плоская материальная кривая имеет плотность (x,y). Статический момент отн оси Ox опред-ся по формуле , отн оси Oy: .

Аналогично, стат моменты пространственной кривой отн-но координатных пл-тей вычисляются по формулам

, ,

- для пространственной кривой, где m - масса кривой.

,

, , ,

2. Вывести разложения в ряд Маклорена.

Это частный случай ряда Тейлора при х0=0.

. Все производные этой функции в точке х=0 равны , поэтому ряд имеет вид

. Область сходимости этого ряда - вся числовая ось

поэтому при . Как следствие, остаточный член формулы Тейлора . Поэтому ряд сходится к в любой точке х.

. Здесь

дальше производные периодически повторяются. Ряд Маклорена имеет вид

.

Этот ряд абсолютно сходится при , и его сумма действительно равна . Остаточный член формулы Тейлора имеет вид , где или - ограниченная функция, а (это общий член предыдущего разложения).

.

Это разложение можно получить, как и предыдущие, последовательным вычислением производных, но мы поступим по другому. Почленно продифференцируем предыдущий ряд:

.

Сходимость к функции на всей оси следует из теоремы о почленном дифференцировании степенного ряда.


Случайные файлы

Файл
5597-1.rtf
69736.rtf
168231.rtf
13072-1.rtf
8679-1.rtf




Чтобы не видеть здесь видео-рекламу достаточно стать зарегистрированным пользователем.
Чтобы не видеть никакую рекламу на сайте, нужно стать VIP-пользователем.
Это можно сделать совершенно бесплатно. Читайте подробности тут.