Архив шпаргалок (2)

Посмотреть архив целиком

Билет №2


1. Сформулировать и доказать свойства двойного интеграла

Линейность. Если функции , интегрируемы по области , то их линейная комбинация тоже интегрируема по области , и .

Док-во. Для интегральных сумм справедливо равенство . Переходя к пределу при

Аддитивность. Если область является объединением двух областей и , не имеющих общих внутренних точек, то .

Док-во. Пусть область разбита на подобласти , область разбита на подобласти . Тогда объединение этих разбиений даст разбиение области : на подобластей. Интегральная сумма по области равна сумме сумм по областям и : . Как и в предыдущем случае, переходя к пределу при , получим требуемое равенство.

Теоремы об оценке интеграла.

Если функция интегрируема по области , и для выполняется , то .

Док-во. (цифрами над знаками импликации обозначены номера применяемых ранее доказанных свойств).

Теорема о среднем. Если функция непрерывна на области , то существует точка , такая что .

Док-во. Непрерывная на ограниченной замкнутой области функция принимает в некоторых точках этой области своё минимальное и максимальное значения. Так как , то , или . Непрерывная функция принимает, кроме того, любое значение, заключённое между m и M, в частности, значение . Следовательно, , откуда и следует доказываемое утверждение.


2. Числовые ряды. Сходящиеся и расходящиеся ряды. Доказать необходимый признак сходимости.

Числовым рядом называется составленная из членов этой последовательности запись

.

Если существует конечный предел S последовательности частичных сумм ряда (18.1.1) при , то говорят, что ряд сходится; число S называют суммой ряда и пишут или .

Если не существует (в том числе бесконечен), ряд называется расходящимся.

Необходимый признак сходимости ряда

стремится к нулю при : .


сходится . Обратное неверно. Пример – гармонический ряд.


Доказательство. Если , то и , но , следовательно .

С проверки выполнения условия надо начинать решение любой задачи на исследование сходимости ряда: если это условие не выполняется, то ряд заведомо расходится. Это условие необходимо, но не достаточно для сходимости ряда: общий член гармонического ряда (18.1.2) , однако этот ряд расходится.








Чтобы не видеть здесь видео-рекламу достаточно стать зарегистрированным пользователем.
Чтобы не видеть никакую рекламу на сайте, нужно стать VIP-пользователем.
Это можно сделать совершенно бесплатно. Читайте подробности тут.