Архив шпаргалок (19)

Посмотреть архив целиком

Билет №19

1Вывести ф-лу Грина для односвязной обл.


Теорема (формула) Грина. Пусть G – плоская односвязная область с кусочно-гладкой границей L. Пусть функции P(x, y), Q(x, y) непрерывны и имеют непрерывные частные производные по своим переменным в области G и на L.

Тогда справедлива формула Грина

.

Доказательство.

область G можно представить как объединение конечного числа правильных областей . Пусть G – правильная область. Так как P, Q могут быть произвольными функциями, то формула Грина сводится двум формулам и , каждую из которых надо доказать. Докажем первую формулу, вторая доказывается аналогично.


=

==

=


2. Теорема Дирихле. Предположим, что для функции , имеющей период , вычислены коэффициенты по формулам



,...

3

,

2

,

1

,

sin

)

(

1

n

dx

nx

x

f

b

n



, и составлен ряд Фурье . Будет ли этот ряд сход? Будет ли его сумма = ?

Ответы на эти вопросы даёт теорема Дирихле.

Пусть функция периода удовлетворяет следующим условиям: 1. непрерывна на интервале всюду, за исключением конечного числа точек разрыва первого рода (т.е точек, в которых существуют конечные пределы слева и справа , не равные друг другу);

2.Имеет на этом интервале конеч число экстремумов.

Тогда ряд Фурье сходится в каждой точке отрезка . Его сумма равна в точках непрерывности этой функции; в точках разрыва этой функции; в точках .

Условия 1-2 принято называть условиями Дирихле.

Примеры разложения функций в ряд Фурье.

Мы пишем , подразумевая, что это верно на интервале ; вне этого интервала функция периодически повторяется с периодом .

Решение. Вычисляем коэффициенты Фурье: ; .Итак,







Чтобы не видеть здесь видео-рекламу достаточно стать зарегистрированным пользователем.
Чтобы не видеть никакую рекламу на сайте, нужно стать VIP-пользователем.
Это можно сделать совершенно бесплатно. Читайте подробности тут.