Архив шпаргалок (8)

Посмотреть архив целиком

Билет №8


1. Сформулировать и доказать свойства тройного интеграла (заменяет везде двойной на тройной)

Линейность. Если функции , интегрируемы по области , то их линейная комбинация тоже интегрируема по области , и .

Док-во. Для интегральных сумм справедливо равенство . Переходя к пределу при

Аддитивность. Если область является объединением двух областей и , не имеющих общих внутренних точек, то .

Док-во. Пусть область разбита на подобласти , область разбита на подобласти . Тогда объединение этих разбиений даст разбиение области : на подобластей. Интегральная сумма по области равна сумме сумм по областям и : . Как и в предыдущем случае, переходя к пределу при , получим требуемое равенство.

Теоремы об оценке интеграла.

Если функция интегрируема по области , и для выполняется , то .

Док-во. (цифрами над знаками импликации обозначены номера применяемых ранее доказанных свойств).

Теорема о среднем. Если функция непрерывна на области , то существует точка , такая что .

Док-во. Непрерывная на ограниченной замкнутой области функция принимает в некоторых точках этой области своё минимальное и максимальное значения. Так как , то , или . Непрерывная функция принимает, кроме того, любое значение, заключённое между m и M, в частности, значение . Следовательно, , откуда и следует доказываемое утверждение.


2. Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость.

Абсолютная и условная сходимость числовых рядов. Рассмотрим, вместе с рядом , ряд, составленный из модулей членов ряда (А): . Докажем теорему: если сходится ряд (|A|), то сходится исходный ряд (А).

Док-во. Пусть сходится ряд (|A|). Это – сходящийся ряд, поэтому множество его частичных сумм , ограничено. В частичной сумме исходного ряда отделим множества неотрицательных и отрицательных членов; неотрицательным членам припишем индекс , у отрицательных членов вынесем знак за скобку и их модулям припишем индекс : ; здесь символом обозначена сумма входящих в положительных членов, обозначает сумму модулей входящих в отрицательных членов, . Итак, . - ограниченное множество, поэтому . Но , . Суммы тоже возрастают с ростом n и ограничены сверху, поэтому существуют конечные пределы . Но , поэтому сущ конечный предел , т.е. исходный ряд (А) сход, что и требовалось доказать.

Определение. Ряд называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд абсолютных величин его членов. Если ряд сходится, а ряд расходится, то ряд наз усл сходящимся.

Доказанная теорема сводит исследование некоторых знакопеременных рядов к положительным рядам. Для знакопеременных рядов определённой структуры - знакочередующихся рядов - также существует достаточный признак сходимости.



Случайные файлы

Файл
19568-1.rtf
1456-1.rtf
21922-1.rtf
112132.rtf
105742.rtf




Чтобы не видеть здесь видео-рекламу достаточно стать зарегистрированным пользователем.
Чтобы не видеть никакую рекламу на сайте, нужно стать VIP-пользователем.
Это можно сделать совершенно бесплатно. Читайте подробности тут.