Архив шпаргалок (21)

Посмотреть архив целиком

Билет21.

Формула Ньютона – Лейбница.

Пусть выполнены условия теоремы о полном дифференциале и пусть выражение

- полный дифференциал, а функция - потенциал.

Тогда справедлива формула Ньютона – Лейбница

, где - потенциал.

Доказательство.

Докажем, что - потенциал, то есть, что


. Докажем первое соотношение, второе доказывается аналогично.

=

= =

= . Первое соотношение доказано.

Для доказательства второго соотношения варьируется переменная y, дуга, соединяющая точки (x0, y0), и (x, y+y) проводится через точку (x, y) и далее по отрезку, параллельному оси OY, соединяющему точки (x, y) и (x, y+y).


Так как интеграл не зависит от пути интегрирования, то дугу, соединяющую точки (x1, y1), (x2, y2) можно провести через точку (x0, y0). Поэтому = + = - = .


Теорема. Степенной ряд равномерно сходится внутри интервала сходимости.

Доказательство. Пусть . Выберем , например . На интервале и в точке x1 степенной ряд сходится абсолютно, так как этот интервал лежит внутри интервала сходимости. Тогда (точно так же, как в доказательстве теоремы Абеля оценим

, где ( не зависит от ).

Тогда в области степенной ряд будет сходиться равномерно по признаку Вейерштрасса (члены ряда мажорируются членами бесконечно убывающей геометрической прогрессии).

Следствие. Внутри интервала сходимости справедливы теоремы о непрерывности суммы ряда, о почленном интегрировании и дифференцировании ряда.

Теорема. При почленном дифференцировании и интегрировании степенного ряда его радиус сходимости не меняется.

Доказательство. Рассмотрим ряд из модулей членов степенного ряда (это – знакоположительный числовой ряд в конкретной точке) и определим радиус сходимости по признаку Даламбера.

.

Продифференцируем почленно степенной ряд , перейдем к ряду из модулей и найдем радиус сходимости по признаку Даламбера.

.

Таким образом, при почленном дифференцировании радиус сходимости степенного ряда не меняется. Он не меняется и при почленном интегрировании, иначе он изменился бы при почленном дифференцировании.

4. (Бесконечная дифференцируемость суммы степенного ряда). Сумма степенного ряда в любой точке интервала сходимости имеет производные любого порядка; эти производные могут быть получены последовательным почленным диффер-нием исходного ряда. Доказательство. Справедливость этого утверждения следует из доказанной теоремы о почленном дифференцировании степенного ряда; последовательное применение этой теоремы даёт






Чтобы не видеть здесь видео-рекламу достаточно стать зарегистрированным пользователем.
Чтобы не видеть никакую рекламу на сайте, нужно стать VIP-пользователем.
Это можно сделать совершенно бесплатно. Читайте подробности тут.