Архив шпаргалок (24)

Посмотреть архив целиком

Билет №24

1 Вычисление поверхностного интеграла 1го рода в декартовой системе координат.

Рассматривая уравнение как уравнение поверхности уровня функции трёх переменных , получаем, что в каждой точке поверхности ортогонален . Чтобы получить единичный нормальный вектор, достаточно просто пронормировать : , где знак перед дробью соответствует возможности выбора двух возможных взаимно противоположных направлений нормали. В координатной форме , где - базисные орты. Если сравнить это выражение с представлением градиента через направляющие косинусы: , то , для других cos углов меняем x на y и z соотв-нно

Выразим элемент площади поверхности через элемент площади в каждой координатной плоскост, dсигма = dxdz/cos(бета) dсигма = dydz/cos(гамма)

В частном случае задания уравнения поверхности в явном виде получим , т.е. , , , , поэтому , . Мы уже пользовались этой формулой при вычислении площади поверхности с помощью двойного интеграла.

Выражение поверхностного интеграла через двойной интеграл по проекции поверхности на координатную плоскость. Пусть поверхность взаимно однозначно проецируется в область на плоскости Оху. Будем считать, что поверхность задана уравнением , . В интегральной сумме

. Значение подынтегральной функции будем вычислять в точке , такой, что . Тогда выразим площадь через двойной интеграл по её проекции на плоскость Оху: Применим к этому интегралу теорему о среднем: существует точка такая, что .

Слева стоит интегральная сумма для поверхностного интеграла, справа - для двойного; переход к пределу при (при этом и ) даёт .

Эта формула и применяется для вычисления поверхностных интегралов. Естественно, в каждой задаче надо выбирать, на какую из координатных плоскостей предпочтительней проецировать поверхность; если проецирование не взаимно однозначно, поверхность разбивается на части, которые проецируются однозначно.

2. Вывести разложение в ряд Маклорна функций ln(1+x) и arctg(x). Указать область сходимости разложени1.

.

Здесь мы воспользуемся тем, что . Так как , то, после почленного интегрирования, .Область сходимости этого ряда - полуинтервал , сходимость к функции во внутренних точках следует из теоремы о почленном интегрировании степенного ряда, в точке х=1 - из непрерывности и функции, и суммы степенного ряда во всех точках, сколь угодно близких к х=1 слева. Отметим, что взяв х=1, мы найдём сумму ряда . Почленно интегрируя ряд , получим разложение для функции .




Случайные файлы

Файл
39106.rtf
83445.rtf
155757.rtf
121468.rtf
163319.rtf




Чтобы не видеть здесь видео-рекламу достаточно стать зарегистрированным пользователем.
Чтобы не видеть никакую рекламу на сайте, нужно стать VIP-пользователем.
Это можно сделать совершенно бесплатно. Читайте подробности тут.