Архив шпаргалок (30)

Посмотреть архив целиком

Билет 30.

1. Оператор Гамильтона. Запись дифференциальных операций векторного анализа с помощью оператора Гамильтона.

Оператор Гамильтона .Применим оператор Гамильтона к скалярному полю .

Оператор Гамильтона представляет собой вектор-оператор. Его можно скалярно или векторно умножить на векторное поле .

Это дифференциальные операции первого порядка над скалярным и векторным полями. От скалярного поля можно взять градиент, от векторного поля можно взять дивергенцию и ротор.


Дифференциальные операции второго порядка.


В резуьтате дифференциальных операций первого порядка мы получаем скалярные и векторные поля .

К ним вновь можно применить дифференциальные операции первого порядка. От скалярного поля можно взять градиент, получив векторное поле . От векторных полей можно взять ротор и дивергенцию, получив скалярные поля , и векторные поля , . Итак, дифференциальные операции второго порядка позволяют получить скалярные поля , и векторные поля , , .

2. Ряды Фурье. Дост усл равн сходимости ряда Ф.

Равномерная сходимость рядов Фурье

Напомним, что последовательность функций fn сходится к функции f равномерно на промежутке [a,b], если величина называемая супремум нормой  функции f-fn, стремится к нулю при .Ряд Фурье называется равномерно сходящимся , если последовательность его частичных сумм равномерно сходится к сумме ряда. Из общей теории функциональных рядов ясно, почему важно понятие равномерной сходимости: оно фигурирует в теоремах о непрерывности, дифференцируемости и интегрируемости функционального ряда. Однако эти вопросы для тригонометрических рядов мы уже рассмотрели выше с помощью специфических премов, не использующих общей теории функциональных рядов. Поэтому сейчас для нас вопрос о равномерной сходимости ряда Фурье имеет характер чистого любопытства: верно ли, что для достаточно больших n график частичной суммы ряда Фурье Sn целиком попадает в полоску между графиками ф-ций и ?

Теорема.  Если -периодическая функция непрер диффер-ма, то ее ряд Фурье сходится к ней равномерно на всей числовой прямой.

Доказательство. Мы уже знаем, что для каждого ряд Фурье функции f сходится поточечно, поскольку при .Равномерную сходимость установим с помощью признака Вейерштрасса равномерной сходимости функционального ряда, который утверждает, что если для каждого номера n найдутся числа cn такие, что для всех выполняются неравенства и числовой ряд сходится, то функциональный ряд сходится равномерно на промежутке [a,b].

Пусть, как обычно, an, bn обозначают коэффициенты Фурье функции f, а a'n, b'n -- коэффициенты Фурье функции f'. Из теоремы о дифференцировании ряда Фурье вытекает, что |an|=|b'n|/n и |bn|=|a'n|/n, а значит

для всех [среднее неравенство написано на основании очевидной формулы ]. Сходимость числового ряда вам известна из курса математического анализа, а ряд сходится на основании неравенства Бесселя

[ведь промежуток имеет конечную длину, а функция f непрерывна, а значит, и ограничена на нем]. Таким образом, заключение теоремы вытекает из признака Вейерштрасса.








Случайные файлы

Файл
164022.rtf
26502-1.rtf
154252.rtf
12480-1.rtf
69396.rtf




Чтобы не видеть здесь видео-рекламу достаточно стать зарегистрированным пользователем.
Чтобы не видеть никакую рекламу на сайте, нужно стать VIP-пользователем.
Это можно сделать совершенно бесплатно. Читайте подробности тут.