Архив шпаргалок (14)

Посмотреть архив целиком

Билет №14

несобственные интегралы 2 рода

Особенность на левом конце промежутка интегрирования. Пусть функция f(x) определена на полуинтервале (a, b], интегрируема по любому отрезку , и имеет бесконечный предел при . Несобственным интегралом от f(x) по отрезку называется предел . Если этот предел конечен, говорят, что интеграл сходится; если предел не существует или бесконечен, говорят, что интеграл расходится. Примеры:

1. - интеграл расходится;

Особенность на правом конце промежутка интегрирования. Пусть функция f(x) определена на полуинтервале [a, b), интегрируема по любому отрезку , и имеет бесконечный предел при . Несобственным интегралом от f(x) по отрезку [a, b] называется предел . Если этот предел конечен, говорят, что интеграл сходится; если предел не существует или бесконечен, говорят, что интеграл расходится.

Особенность во внутренней точке промежутка интегрирования. Пусть функция f(x) определена на отрезке [a, b], имеет бесконечный предел при стремлении аргумента к какой-либо внутренней точке c этого отрезка: , интегрируема по любому отрезку, не содержащему точку c. Несобственным интегралом от f(x) по отрезку [a, b] называется . Интеграл сходится, если оба эти пределы существуют и конечны, в противном случае интеграл расходится.

Условия независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования.

Теорема 1. Для того, чтобы интеграл не зависел от формы пути, соединяющего точки А и В, необх и дост, чтобы интеграл по любому замкнутому контуру был равен нулю.

Док-во. Необходимость. Пусть - произвольный замкнутый контур, лежащий в области , А и В - произвольные точки этого контура. Так как, по условию, , то .

Достаточность. Пусть для любого контура выполняется . Пусть , - произвольные точки, и - две различных кривых, соединяющих эти точки. - замкнутый контур, поэтому , ч.т.д.

Теорема 2. Для того, чтобы интеграл по любому контуру С был равен нулю, необходимо и достаточно, чтобы функции и их частные производные были непрерывны, и выполнялось условие .

Доказательство. Необходимость. От противного. Пусть для выполняется , но существует точка такая, что . Предположим для определённости, что . Так как разность непрерывна, существует окрестность точки такая, что . Выберем контур С, целиком лежащий в этой окрестности. Если D - область ограниченная этим контуром, то, по формуле Грина, . Но, по теореме об интегрировании неравенств, ( - площадь области D), т.е. , что противоречит условиям теоремы. Следовательно, в любой точке выполняется условие .

Таким образом, для того, чтобы криволинейный интеграл не зависел от формы пути, соединяющего начальную и конечную точки (или, что то же самое, интеграл по любому замкнутому контуру был равен нулю), требуется выполнение двух условий:

Контур и ограниченная им область лежат в некоторой односвязной области, в которой

и их частные производные непрерывны , и.







Чтобы не видеть здесь видео-рекламу достаточно стать зарегистрированным пользователем.
Чтобы не видеть никакую рекламу на сайте, нужно стать VIP-пользователем.
Это можно сделать совершенно бесплатно. Читайте подробности тут.