Архив шпаргалок (29)

Посмотреть архив целиком

Билет №29

1. Потенциальное поле и его свойства. Вычисление линейного интеграла в потенциальном поле

Определение потенциального поля. Векторное поле (M) называется потенциальным в области V, если существует такое скалярное поле , что (M) для . Поле называется потенциалом поля (M).

Свойства потенциального поля. 1. Потенциал определён с точностью до произвольной постоянной ().

2. Разность потенциалов в двух точках опр-лена однозначно.

3. Если поле (M) потенциально, то линейный интеграл этого поля по любой кривой , целиком лежащей в V, определяется только начальной и конечной точками этой кривой, и не зависит от формы кривой. Эта формула является обобщением формулы Ньютона-Лейбница для потенциального поля.

4. Циркуляция потенциального в области V поля по любому контуру, лежащему в V, равна нулю.

5. Векторная линия потенциального поля в каждой точке М ортогональна эквипотенциальной поверхности ( т.е. поверхности уровня потенциала), проходящей через точку М.

6. Ротор потенциального векторного поля равен нулю: Введём опр-ие безвихревого поля: поле (M), ротор кот в каждой точке = нулю, называется безвихревым.

Мы доказали, что потенциальное поле необходимо безвихрево.


2. Разложение функции в степенной ряд. Неравенство Бесселя и равенство Парсеваля для тригонометрической системы на отрезке [-1;1]. Полнота тригонометрической системы.

Теорема (неравенство Бесселя) . Если квадрат функции f интегрируем по промежутку ,то числовой ряд

сходится и имеет место неравенство

Доказательство. Заменяя в равенстве (14) произволный многочлен Tn частичной суммой

ряда Фурье функции f, получим равенство

Левая его часть неотрицательная, поскольку мы интегрируем неотрицательную функцию. Значит,

Все члены числового ряда

неотрицательны, а значит, его частичные суммы монотонно возрастают. Но, согласно (15), все они ограничены одним и тем же конечным числом и поэтому имеют конечный предел. Другими словами это означает, что ряд (16) сходится. Переходя к пределу при в неравенстве (15), завершим доказательство теоремы. Полнота ортонормированной системы. Равенство Парсеваля. Замкнутые системы

Говорят, что ортонормированная система векторов x, x1, …,xn, …является пополнением последовательности x1, …,xn, ….В свою очередь ортонормированная последовательность x1, …,xn, …векторов гильбертова пространства H называется полной, если ее уже нельзя пополнить, т.е. если ее ортогональное дополнение состоит из нуля.

Теорема (равенство Парсеваля). Пусть -- полная ортонормированная система векторов в гильбертовом пространстве H. Тогда для любых векторов x и y из H справедливо равенство

где и являются коэффициентами Фурье векторов x и y соответственно. В частности







Чтобы не видеть здесь видео-рекламу достаточно стать зарегистрированным пользователем.
Чтобы не видеть никакую рекламу на сайте, нужно стать VIP-пользователем.
Это можно сделать совершенно бесплатно. Читайте подробности тут.