Табличный симплекс-метод (46279)

Посмотреть архив целиком

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ТАБЛИЧНОГО СИМПЛЕКС-МЕТОДА ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ ДЛЯ ОПТИМИЗАЦИИ ЭКОНОМИЧЕСКИХ ЗАДАЧ


ВВЕДЕНИЕ


Цель данного курсового проекта - составить план производства требуемых изделий, обеспечивающий максимальную прибыль от их реализации, свести данную задачу к задаче линейного программирования, решить её симплекс - методом и составить программу для решения задачи этим методом на ЭВМ.


1. КРАТКИЙ ОБЗОР АЛГОРИТМОВ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ДАННОГО ТИПА


1.1 Математическое программирование


Математическое программирование занимается изучение экстремальных задач и поиском методов их решения. Задачи математического программирования формулируются следующим образом : найти экстремум некоторой функции многих переменных f ( x1, x2, ... , xn ) при ограничениях gi ( x1, x2, ... , xn )  bi , где gi - функция, описывающая ограничения,  - один из следующих знаков  ,  ,  , а bi - действительное число, i = 1, ... , m. f называется функцией цели ( целевая функция ).

Линейное программирование - это раздел математического программирования, в котором рассматриваются методы решения экстремальных задач с линейным функционалом и линейными ограничениями, которым должны удовлетворять искомые переменные.

Задачу линейного программирования можно сформулировать так . Найти max

при условии : a11 x1 + a12 x2 + . . . + a1n xn  b1 ;

a21 x1 + a22 x2 + . . . + a2n xn  b2 ;

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

am1 x1 + am2 x2 + . . . + amn xn  bm ;

x1  0, x2  0, . . . , xn  0 .

Эти ограничения называются условиями неотрицательности. Если все ограничения заданы в виде строгих равенств, то данная форма называется канонической.


В матричной форме задачу линейного программирования записывают следующим образом. Найти max cT x

при условии

A x  b ;

x  0 ,

где А - матрица ограничений размером ( mn), b(m1) - вектор-столбец свободных членов, x(n  1) - вектор переменных, сТ = [c1, c2, ... , cn ] - вектор-строка коэффициентов целевой функции.

Решение х0 называется оптимальным, если для него выполняется условие сТ х0  сТ х , для всех х  R(x).

Поскольку min f(x) эквивалентен max [ - f(x) ] , то задачу линейного программирования всегда можно свести к эквивалентной задаче максимизации.

Для решения задач данного типа применяются методы:

1) графический;

2) табличный ( прямой, простой ) симплекс - метод;

3) метод искусственного базиса;

4) модифицированный симплекс - метод;

5) двойственный симплекс - метод.

1.2 Табличный симплекс - метод


Для его применения необходимо, чтобы знаки в ограничениях были вида “ меньше либо равно ”, а компоненты вектора b - положительны.

Алгоритм решения сводится к следующему :

Приведение системы ограничений к каноническому виду путём введения дополнительных переменных для приведения неравенств к равенствам.

Если в исходной системе ограничений присутствовали знаки “ равно ” или “ больше либо равно ”, то в указанные ограничения добавляются

искусственные переменные, которые так же вводятся и в целевую функцию со знаками, определяемыми типом оптимума.

Формируется симплекс-таблица.

Рассчитываются симплекс-разности.

Принимается решение об окончании либо продолжении счёта.

При необходимости выполняются итерации.

На каждой итерации определяется вектор, вводимый в базис, и вектор, выводимый из базиса. Таблица пересчитывается по методу Жордана-Гаусса или каким-нибудь другим способом.


1.3 Метод искусственного базиса


Данный метод решения применяется при наличии в ограничении знаков “ равно ”, “ больше либо равно ”, “ меньше либо равно ” и является модификацией табличного метода. Решение системы производится путём ввода искусственных переменных со знаком, зависящим от типа оптимума, т.е. для исключения из базиса этих переменных последние вводятся в целевую функцию с большими отрицательными коэффициентами  , а в задачи минимизации - с положительными  . Таким образом из исходной получается новая  - задача.

Если в оптимальном решении  - задачи нет искусственных переменных, это решение есть оптимальное решение исходной задачи. Если же в оптимальном решении  - задачи хоть одна из искусственных переменных будет отлична от нуля, то система ограничений исходной задачи несовместна и исходная задача неразрешима.

1.4 Модифицированный симплекс - метод

В основу данной разновидности симплекс-метода положены такие особенности линейной алгебры , которые позволяют в ходе решения задачи работать с частью матрицы ограничений. Иногда метод называют методом обратной матрицы.

В процессе работы алгоритма происходит спонтанное обращение матрицы ограничений по частям, соответствующим текущим базисным векторам. Указанная способность делает весьма привлекательной машинную реализацию вычислений вследствие экономии памяти под промежуточные переменные и значительного сокращения времени счёта. Хорош для ситуаций, когда число переменных n значительно превышает число ограничений m.

В целом, метод отражает традиционные черты общего подхода к решению задач линейного программирования, включающего в себя канонизацию условий задачи, расчёт симплекс-разностей, проверку условий оптимальности, принятие решений о коррекции базиса и исключение Жордана-Гаусса.

Особенности заключаются в наличии двух таблиц - основной и вспомагательной, порядке их заполнения и некоторой специфичности расчётных формул.


2. СОДЕРЖАТЕЛЬНАЯ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ


Для производства двух видов изделий А и В используется три типа технологического оборудования. На производство единицы изделия А идёт времени, часов : оборудованием 1-го типа - а1 , оборудованием 2-го типа - а2 , оборудованием 3-го типа - а3 . На производство единицы изделия В идёт времени, часов : оборудованием 1-го типа - b1 , оборудованием 2-го типа - b2 ,, оборудованием 3-го типа - b3 .

На изготовление всех изделий администрация предприятия может предоставить оборудование 1-го типа не более, чем на t1 , оборудование 2-го типа не более, чем на t2 , оборудование 3-го типа не более, чем на t3 часов.

Прибыль от реализации единицы готового изделия А составляет  рублей, а изделия В -  рублей.

Составить план производства изделий А и В, обеспечивающий максимальную прибыль от их реализации. Решить задачу простым симплекс-методом. Дать геометрическое истолкование задачи, используя для этого её формулировку с ограничениями-неравенствами.

а1 = 1 b1 = 5 t1 = 10  = 2

а2 = 3 b2 = 2 t2 = 12  = 3

а3 = 2 b3 = 4 t3 = 10


3. РАЗРАБОТКА И ОПИСАНИЕ АЛГОРИТМА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ


3.1 Построение математической модели задачи


На произв-во изделия А, часов

На произв-во изделия B, часов

Предпр-е предоставит, часов

Оборуд-е 1го типа

1

5

10

Оборуд-е 2го типа

3

2

12

Оборуд-е 3го типа

2

4

10

Прибыль от реализации, за ед. изд-я

2

3


Построение математической модели осуществляется в три этапа :

1. Определение переменных, для которых будет составляться математическая модель.

Так как требуется определить план производства изделий А и В, то переменными модели будут:

x1 - объём производства изделия А, в единицах;

x2 - объём производства изделия В, в единицах.

2. Формирование целевой функции.

Так как прибыль от реализации единицы готовых изделий А и В известна, то общий доход от их реализации составляет 2x1 + 3x2 ( рублей ). Обозначив общий доход через F, можно дать следующую математическую формулировку целевой функции : определить допустимые значения переменных x1 и x2 , максимизирующих целевую функцию F = 2x1 + 3x2 .

3. Формирование системы ограничений.

При определении плана производства продукции должны быть учтены ограничения на время, которое администрация предприятия сможет предоставить на изготовления всех изделий. Это приводит к следующим трём ограничениям :

x1 + 5x2  10 ; 3x1 + 2x2  12 ; 2x1 + 4x2  10 .

Так как объёмы производства продукции не могут принимать отрицательные значения, то появляются ограничения неотрицательности :

x1  0 ; x2  0 .

Таким образом, математическая модель задачи представлена в виде : определить план x1 , x2 , обеспечивающий максимальное значение функции :

max F = max ( 2x1 + 3x2 )

при наличии ограничений :

x1 + 5x2  10 ;

3x1 + 2x2  12 ;

2x1 + 4x2  10 .

x1  0 ; x2  0 .


3.2 Решение задачи вручную


Табличный метод ещё называется метод последовательного улучшения оценки. Решение задачи осуществляется поэтапно.

1. Приведение задачи к форме :

x1 + 5x2  10 ;

3x1 + 2x2  12 ;

2x1 + 4x2  10 .

x1  0 ; x2  0 .

2. Канонизируем систему ограничений :

x1 + 5x2 + x3 = 10 ;

3x1 + 2x2 + x4 = 12 ;

2x1 + 4x2 + x5 = 10 .

x1  0 ; x2  0 .

A1 A2 A3 A4 A5 A0


Случайные файлы

Файл
105290.rtf
31504.rtf
merton.doc
trast.doc
126037.rtf




Чтобы не видеть здесь видео-рекламу достаточно стать зарегистрированным пользователем.
Чтобы не видеть никакую рекламу на сайте, нужно стать VIP-пользователем.
Это можно сделать совершенно бесплатно. Читайте подробности тут.