Готовые билеты 2006-го года (30(готово))

Посмотреть архив целиком


Билет № 30.

Дать определение функции непрерывной в точке (привести равносильные формулировки) и доказать теорему о переходе к пределу под знаком непрерывной функции (lim f[g(x)] = f [lim g(x)]).

xa xa

Пусть функции f(x) определена в некоторой окрестности точки x0 (и в самой точки x0). Функция f(x) называется непрерывной в точке x0 существует lim f(x) = f(x0)

xx0

Определение по Коши: Функция f(x) называется непрерывной в точке x0



Определение по Гейне: Функция f(x) называется непрерывной в точке x0



Теорема о переходе к пределу под знаком непрерывной функции:

Пусть существует lim f(x) = a, и функция Y(y) непрерывна в точке a. Тогда если в некоторой проколотой окрестности * определена сложная функция Y(f(x)), то lim Y(f(x)) = Y lim f(x) = Y(a)

x -- * x -- *

(знак предела и непрерывной функции можно переставлять местами). Доказательство:
















, ч.т.д.


Дать определение векторной функции скалярного аргумента: и её производной. Касательная к пространственной кривой. Доказать теорему о производной векторной функции постоянной длины.

Рассмотрим [a,b]. Пусть любому поставлен в соответствии некоторый вектор , тогда говорят, что на [a,b] задана векторная функция скалярного аргумента.

Пусть задана ортонормированная система координат с базисом , тогда

Функции x(t), y(t), z(t)- скалярные функции действительного аргумента – координатные функции для вектор-функции .

Геометрический смысл векторной функции:

Функции

соответствует некоторая кривая






Такое представление кривой называют годографом. называется пределом функции скалярного аргумента при если:

.

Рассмотрим приращение векторной функции, придадим t приращение , тогда

.

Производной в точке называется предел разностного отношения при

, .


, .

Пусть . Предельное положение секущей при называют касательной к кривой Г в точке . . Тогда при касательная в точке параллельна вектору . Уравнение касательной: .

- каноническое уравнение касательной.


Теорема: Пусть векторная функция скалярного аргумента , - является непрерывно-дифференцируемой функцией на , которой соответствует некоторая кривая Г: . Тогда