Решение дифференциального уравнения с последующей аппроксимацией (45345)

Посмотреть архив целиком

20



МИНИСТЕРСТВО СВЯЗИ РФ


СИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ТЕЛЕКОММУНИКАЦИЙ И ИНФОРМАТИКИ

ХАБАРОВСКИЙ ФИЛИАЛ














К У Р С О В А Я Р А Б О Т А


ПО ИНФОРМАТИКЕ

на тему:


РЕШЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ

С ПОСЛЕДУЮЩЕЙ АППРОКСИМАЦИЕЙ РЕЗУЛЬТАТОВ











Работу выполнила:

студентка I курса

специальности РРТ (ускор.)

Турчина

шифр: 011р-469



2001 г.

С О Д Е Р Ж А Н И Е




Индивидуальное задание - 3

1. Решение дифференциального уравнения методом Эйлера - Коши - 4

1.1. Теоретические сведения - 4

1.2. Ручной расчёт решаемой задачи - 6

2. Аппроксимация. Метод наименьших квадратов - 9

2.1. Теоретические сведения - 9

2.2. Ручной расчёт коэффициентов системы линейных уравнений - 10

3. Решение системы уравнений методом Гаусса - 11

4. Нахождение значений аппроксимирующей функции - 13

5. Расчёт погрешности аппроксимации - 14

6. Построение блок-схемы и разработка программы аппроксимации - 16

Литература - 21















ИНДИВИДУАЛЬНОЕ ЗАДАНИЕ


  1. Решить дифференциальное уравнение y = x + cos ( y / 0.3 ) с начальными условиями x0 = 0.7 y0 = 2.1 на интервале [ 0.7 ; 1.7 ] с шагом h = 0.1.

  2. Оценить погрешность вычислений при решении дифференциального уравнения методом Эйлера - Коши.

  3. Аппроксимировать полученное в п.1. решение параболой методом наименьших квадратов.

  4. Рассчитать погрешность аппроксимации.

  5. Построить графики решения дифференциального уравнения, аппроксимирующей функции и погрешности аппроксимации.

  6. Составить блок-схемы алгоритмов и программы для решения дифференциального уравнения, вычисления коэффициентов аппроксимирующей параболы, расчёта погрешности аппроксимации на языке QBASIC. На печать выдать :

- значения функции y( xi ), являющейся решением дифференциального уравнения в точках xi, найденные с шагом h и с шагом h/2 ;

- значения аппроксимирующей функции F( xi ) в точках xi ;

- значение погрешности аппроксимации i = F( xi ) - yi.

- величину средне - квадратичного отклонения.











1. РЕШЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ

МЕТОДОМ ЭЙЛЕРА - КОШИ

1.1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ


В соответствии с постановкой задачи нужно найти решение дифференциального уравнения первого порядка, т.е. найти такие решения y(x), которые превратили бы дифференциальное уравнение в тождество. Но так как таких решений множество, заданы начальные условия - значения функции y(x) в точке x0, т.е. y(x0) = y0, а так же интервал [ x0 - xn ].

Рис. 1. показывает, что с помощью начальных условий из множества решений можно выбрать одно.



Рис 1. Множество решений дифференциального уравнения.


Метод Эйлера - Коши - наиболее точный метод решения дифференциального уравнения (второй порядок точности). Этот метод предполагает следующий порядок вычислений:

yi+1 = yi + h f( xi ; yi ), где i = 0,1,2 ... n

yi+1 = yi + h (f( xi ; yi ) + f( xi+1 ; yi+1)) / 2

Число значений n можно найти, разделив интервал на шаг:


n = (xn - xo) / h


Геометрически это означает, что определяется направление касательной к интегральной кривой в исходной точке хi,yi и во вспомогательной точке хi+1,yi+1, а в качестве окончательного направления берется среднее этих направлений (показано пунктирной линией на рис. 2)


Рис.2. Графическая интерпретация метода Эйлера - Коши.


Решение yi+1, найденное методом Эйлера - Коши, намного ближе к точному решению, чем решение yi+1, найденное методом Эйлера. Погрешность метода пропорциональна шагу h во второй степени, т.е. метод Эйлера - Коши имеет второй порядок точности.




  1. РУЧНОЙ РАСЧЁТ РЕШАЕМОЙ ЗАДАЧИ

По условию задачи нужно решить дифференциальное уравнение y = x + cos ( y / 0.3 ) с начальными условиями x0 = 0.7, y0 = 2.1 на интервале [ 0.7 ; 1.7 ] с шагом h = 0.1 .

По формуле метода Эйлера -Коши

yi+1 = yi + h f( xi ; yi ),

yi+1 = yi + h (f( xi ; yi ) + f( xi+1 ; yi+1)) / 2

Найдем y1 и y1

f( x0 ; y0 ) = 0.7 + cos (2.1 / 0.3 ) = - 0.069675

x1 = x0 + h = 0.7 + 0.1=0.8

y1* = y0 + h * f( x0 ; y0 ) = 2.1 + 0.1 * (- 0.069675) = 2.093032

y1 = y0 + h * (f( x0 ; y0 ) + f( x0 + h ; y1* )) / 2 = 2.1 + 0.1 * ((- 0.069675) + 0.022266)/2 =

= 2.09763

Аналогично найдём остальные значения x и y :

f( x1 ; y1 ) = 0.8 + cos (2.09763/ 0.3 ) = 0.02757

x2 = 0.8 + 0.1 = 0.9

y2* = 2.09763 + 0.1 * 0.02757 = 2.100387

y2 = 2.09763 + 0.1 * (0.02757 + 0.130776) / 2 = 2.105547

f( x2 ; y2 ) = 0.9 + cos (2.105547 / 0.3 ) = 0.136831

x3 = 0.9 + 0.1 = 1

y3* = 2.105547 + 0.1 * 0.136831 = 2.11923

y3 = 2.105547 + 0.1 * (0.136831 + 0.25321) / 2 = 2.125049

f( x3 ; y3 ) = 1 + cos (2.125049 / 0.3 ) = 0.260317

x4 = 1+ 0.1 = 1.1

y4* = 2.125049 + 0.1 * 0.260317 = 2.1510807

y4 = 2.125049 + 0.1 * (0.260317 + 0.393124) / 2 = 2.157721

f( x4 ; y4 ) = 1.1 + cos (2.157721 / 0.3 ) = 0.401751

x5 = 1.1 + 0.1 = 1.2

y5* = 2.157721+ 0.1 * 0.401751 = 2.1978961

y5 = 2.157721 + 0.1 * (0.401751 + 0.556089) / 2 = 2.205613

f( x5 ; y5 ) = 1.2 + cos (2.205613 / 1.3 ) = 0.566933

x6 = 1.2 + 0.1 = 1.3

y6* = 2.205613 + 0.1 * 0.566933 = 2.2623063

y6 = 2.205613 + 0.1 * (0.566933 + 0.750302) / 2 = 2.271475

f( x6 ; y6 ) = 1.3 + cos (2.271475 / 0.3 ) = 0.764362

x7 = 1.3 + 0.1 = 1.4

y7* = 2.271475 + 0.1 * 0.764362 = 2.347911

y7 = 2.271475 + 0.1 * (0.764362 + 0.987033) / 2 = 2.359045

f( x7 ; y7 ) = 1.4 + cos (2.359045/ 0.3 ) = 1.005629

x8 = 1.4 + 0.1 = 1.5

y8* = 2.359045 + 0.1 * 1.005629 = 2.4596079

y8 = 2.359045 + 0.1 * (1.005629 + 1.280033) / 2 = 2.473328

f( x8 ; y8 ) = 1.5 + cos (2.473328 / 0.3 ) = 1.304536

x9 = 1.5+ 0.1 = 1.6

y9* = 2.473328 + 0.1 * 1.304536 = 2.6037816

y9 = 2.473328 + 0.1 * (1.304536 + 1.6414317) / 2 = 2.620626

f( x9 ; y9 ) = 1.6 + cos (2.620626 / 0.3 ) = 1.6721351

x10 = 1.6 + 0.1 = 1.7

y10* = 2.620626 + 0.1 * 1.6721351 = 2.7878395

y10 = 2.620626 + 0.1 * (1.6721351 + 2.068584) / 2 = 2.807662

Для оценки погрешности вычислений найдём решение дифференциального уравнения с шагом h / 2 до третьей точки:

f( x0 ; y0 ) = 0.7 + cos (2.1 / 0.3 ) = - 0.069675

x1 = 0.7 + 0.05 = 0.75

y1* = 2.1 + 0.05 * (- 0.069675) = 2.096516

y1 = 2.1 + 0.05 * ((- 0.069675) + ( - 0.02372)) / 2 = 2.097665

f( x1 ; y1 ) = 0.75 + cos (2.097665 / 0.3 ) = - 0.022389

x2 = 0.75 + 0.05 = 0.8


y2* = 2.097665 + 0.05 * (- 0.022389) = 2.096546

y2 = 2.097665 + 0.05 * ((- 0.022389) + 0.026314) / 2 = 2.097763

f( x2 ; y2) = 0.8 + cos (2.097763 / 0.3 ) = 0.027724

x3 = 0.8 + 0.05 = 0.85

y3* = 2.097763 + 0.05 * 0.027724 = 2.0991492

y3 = 2.097763 + 0.05 * (0.027724 + 0.079334) / 2 = 2.10044

f( x3 ; y3) = 0.85 + cos (2.10044 / 0.3 ) = 0.080838

x4 = 0.85 + 0.05 = 0.9

y4* = 2.10044 + 0.05 * 0.080838 = 2.1044819

y4 = 2.10044 + 0.05 * (0.080838 + 0.135575) / 2 = 2.10585

f( x4; y4) = 0.9 + cos (2.10585 / 0.3 ) = 0.137188

x5 = 0.9 + 0.05 = 0.95

y5* = 2.10585 + 0.05 * 0.137188 = 2.1127094

y5 = 2.10585 + 0.05 * (0.137188 + 0.195345) / 2 = 2.114164

f( x5; y5) = 0.95 + cos (2.114164 / 0.3 ) = 0.19709

x6 = 0.95 + 0.05 = 1

y6* = 2.114164 + 0.05 * 0.19709 = 2.1240185

y6 = 2.114164 + 0.05 * (0.19709 + 0.259053) / 2 = 2.125567


Для оценки погрешности вычислений используется правило Рунге:


yi+1 = yih + (yih/2 - yih ) / (2p - 1) , где:

р - порядок метода, для Эйлера - Коши р = 2

Рассчитаем погрешность вычисления в точке х = 1. Найдем уточненное решение:

y(1) = 2.125049 + (2.125567 - 2.125049) / (22 - 1) = 2.1252216

ih = 2p (yih - yih/2) / (2p - 1) = 22 (2.125567 - 2.125049) / 3 = 6.9 * 10 -4

ih/2 = (yih - yih/2) / (2p - 1) = (2.125567 - 2.125049) / 3 = 1.73 * 10 -4




Таблица 1. Значения X и Y, полученные с помощью ручного расчёта.

I

X ( I )

Y ( I )

0

0.7

2.1

1

0.8

2.09763

2

0.9

2.105547

3

1

2.125049

4

1.1

2.157721

5

1.2

2.205613

6

1.3

2.271475

7

1.4

2.359045

8

1.5

2.473328

9

1.6

2.620626

10

1.7

2.807662


График решения дифференциального уравнения представлен на рисунке 3.


  1. АППРОКСИМАЦИЯ. МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ

  1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ


Исходя из постановки задачи, нужно аппроксимировать полученное в п.1. решение ( Таблица 1. ) параболой методом наименьших квадратов, т.е. нужно найти функцию, в данном случае параболу, которая в точках X ( I ) принимала бы значения, как можно более близкие к значениям Y ( I ). Парабола является функцией с тремя параметрами: F (x) = ax2 + bx + c

Сумма квадратов разностей значений функции и решений дифференциального уравнения (Таблица 1.) должна быть минимальной, т.е.:

( ax2 + bx + c - yi )2 => min

Функция будет иметь минимум, когда все частные производные равны нулю.

DF / da = 0, dF / db = 0, dF / dc = 0

После преобразований получим систему уравнений:

a11a + a12b + a13c = b1

a21a + a22b + a23c = b2

a31a + a32b + a33c = b3

где a11 = , a12 = a21 = , a13 = a22 = a31 = , a23 = a32 =xi , a33 = n + 1

b1 = yi , b2 =xi yi , b3 =yi .


2.2. РУЧНОЙ РАСЧЁТ КОЭФФИЦИЕНТОВ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ


Рассчитаем коэффициенты системы трёх линейных уравнений по формулам, взятым из п.2.2.:

а11 = 0.74 + 0.84 + 0.94 + 1.04 + 1.14 + 1.24 + 1.34 + 1.44 + 1.54 + 1.64 + 1.74 = 32.5094

а12 = а21 = 0.73 + 0.83 + 0.93 + 1.03 + 1.13 + 1.23 + 1.33 + 1.43 + 1.53 + 1.63 + 1.73 = 22.9680

а13 = а22 = а31 = 0.72 + 0.82 + 0.92 + 1.02 + 1.12 + 1.22 + 1.32 +1.42+1.52+1.62+1.72 = 16.9400

а23 = а32 = 0.7 + 0.8 + 0.9 + 1 + 1.1 + 1.2 + 1.3 + 1.4 + 1.5 + 1.6 + 1.7 = 13.2000

а33 = n + 1 = 11

b1 = 2.1 * 0.72 + 2.09763 * 0.82 + 2.105547 * 0.92 + 2.125049 * 1.02 + 2.157721 * 1.12 + 2.205613 * 1.22 + 2.271475 * 1.32 + 2.359045 * 1.42 + 2.473328 * 1.52 + 2.620626 * 1.62 + 2.807662 * 1.72 = 40.83941

b2 = 2.1 * 0.7 + 2.09763 * 0.8 + 2.105547 * 0.9 + 2.125049 * 1.0 + 2.157721 * 1.1 + 2.205613 * 1.2 + 2.271475 * 1.3 + 2.359045 * 1.4 + 2.473328 * 1.5 + 2.620626 * 1.6 + 2.807662 * 1.7 = 31.119972

b3 = 2.1 + 2.09763 + 2.105547 + 2.125049 + 2.157721 + 2.205613 + 2.271475 + 2.359045 + 2.473328 + 2.620626 + 2.807662 = 25.3237


Получим систему уравнений:


32.5094a + 22.968b + 16.94c = 40.83941

22.968a + 16.94b + 13.2c = 31.119972

16.94a + 13.2b + 11c = 25.3237


Теперь нужно решить эту систему методом Гаусса и найти коэффициенты a,b,c.


  1. РЕШЕНИЕ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ МЕТОДОМ ГАУССА

Суть этого метода состоит в том, что систему линейных уравнений преобразуют к системе с треугольной матрицей, а потом решают уравнения, начиная с последнего.

Решим систему уравнений, полученную в п. 2.2.:


Первое уравнение считается основным, его мы не изменяем. Второе уравнение нужно преобразовать так, чтобы первый его коэффициент стал равен нулю. Для этого второе уравнение нужно умножить на такой множитель, чтобы первые коэффициенты первого и второго уравнения стали равны.

Найдём множитель:

μ21 = а21 / а11 = 22.968 / 32.5094 = 0.7065

Умножим на него первое уравнение:

32.5094a * 0.7065 + 22.968b * 0.7065 + 16.94 * 0.7065 = 40.83941 * 0.7065

Получим:

22.968a + 16.2269b + 11.9681c = 28.853043

Теперь нужно это уравнение почленно вычесть из второго:

0a + 0.7131b + 1.2319c = 2.266929

Аналогично преобразуем третье уравнение:

i31 = a31 / a11 = 16.94 / 32.5094 = 0.5211

32.5094a * 0.5211 + 22.968b * 0.5211 + 16.94c * 0.5211 = 40.83941 * 0.5211

16.94a + 11.9686b + 8.8274c = 21.281416

Вычтем это уравнение из третьего, получим:

0a +1.2314b + 2.1726c = 4.042284

Таким образом, получится система, эквивалентная исходной:


32.5094a + 22.968b + 16.94c = 40.83941

0.7131b + 1.2319c = 2.266929

1.2314b + 2.1726c = 4.042284

Третье уравнение нужно преобразовать так, чтобы второй его коэффициент стал равен нулю. Найдём множитель:

μ32 = a32 / a22 = 1.2314 / 0.7131 = 1.7268

Умножим второе уравнение на него:

0.7131b * 1.7268 + 1.2319c * 1.7268 = 2.266929 * 1.7268

1.2314b + 2.1272c = 3.914533

Вычтем получившееся уравнение из третьего:

0b + 0.0454c = 0.127751

Получим треугольную матрицу, эквивалентную исходной:

32.5094a + 22.968b + 16.94c = 40.83941

0.7131b + 1.2319c = 2.266929

0.0454c = 0.127751

Теперь найдём коэффициенты:

c = 0.127751 / 0.0454 = 2.813899

b = (2.266929 - 1.2319 * 2.813899) / 0.7131 = - 1.682111

a = (40.83941 - 16.94 * 2.813899 - 22.968 * (- 1.682111) ) / 32.5094 = 0.978384

Проверим результаты вычислений, подставив полученные значения корней в исходную систему:

32.5094 * 0.978384 + 22.968 * (- 1.682111) + 16.94 * 2.813899 = 40.83941

22.968 * 0.978384 + 16.94 * (- 1.682111) + 13.2 * 2.813899 = 31.119972

16.94 * 0.978384 + 13.2 * (- 1.682111) + 11 * 2.813899 = 25.3237


40.8394 40.83941

31.12 31.119972

25.3228 25.3237


Таким образом, уравнение аппроксимирующей параболы имеет вид:

F (x) = 0.978384x2 - 1.682111x + 2.813899


  1. НАХОЖДЕНИЕ ЗНАЧЕНИЙ АППРОКСИМИРУЮЩЕЙ ФУНКЦИИ


Найдём значения функции F(x) = 0.978384 x2 - 1.682111 x + 2.813899

на интервале [0.7; 1.7] с шагом h=0.1

x0 = 0.7

F( x0 ) = 0.978384 * 0.72 - 1.682111 * 0.7 + 2.813899 = 2.118622

x1 = x0 + h = 0.7 + 0.1 = 0.8

F( x1 ) = 0.978384 * 0.82 - 1.682111 * 0.8 + 2.813899 = 2.095734

x2 = 0.8 + 0.1 = 0.9

F( x2 ) = 0.978384 * 0.92 - 1.682111 * 0.9 + 2.813899 = 2.092711

x3 = 0.9 + 0.1 = 1.0

F( x3 ) = 0.978384 * 1.02 - 1.682111 * 1.0 + 2.813899 = 2.109553

x4 = 1.0 + 0.1 = 1.1

F( x4 ) = 0.978384 * 1.12 - 1.682111 * 1.1 + 2.813899 = 2.14626

x5 = 1.1 + 0.1 = 1.2

F( x5 ) = 0.978384 * 1.22 - 1.682111 * 1.2 + 2.813899 = 2.202831

x6 = 1.2 + 0.1 = 1.3

F( x6 ) = 0.978384 * 1.32 -1.682111 * 1.3 + 2.813899 = 2.279266

x7 = 1.3 + 0.1 = 1.4

F( x7 ) = 0.978384 * 1.42 - 1.682111 * 1.4 + 2.813899 = 2.375567

x8 = 1.4 + 0.1 = 1.5

F( x8 ) = 0.978384 * 1.52 - 1.682111 * 1.5 + 2.813899 = 2.491732

x9 = 1.5 + 0.1 = 1.6

F( x9 ) = 0.978384 * 1.62 - 1.682111 * 1.6 + 2.813899 = 2.627762

x10 = 1.6 + 0.1 = 1.7

F( x10 ) = 0.978384 * 1.72 - 1.682111 * 1.7 + 2.813899= 2.783656


5. РАСЧЕТ ПОГРЕШНОСТИ АПРОКСИМАЦИИ.

Для вычисления погрешности аппроксимации вычислим величину среднеквадратичного отклонения:

Здесь yi - значения решения дифференциального уравнения, полученные в п.1.2. (см. Таблицу 1), F(xi) - значения аппроксимирующей функции при тех же значениях xi, полученные в п. 4. Их разность показывает величину отклонения аппроксимирующей функции от аппроксимируемой в узлах xi.

Рассчитаем погрешность аппроксимации:

0 = F( x0 ) - y0 = 2.118622 - 2.1 = 0.018622

02 = 3.46779 * 10 - 4

1 = F( x1 ) - y1 = 2.095734 - 2.09763 = - 0.001896

12 = 3.59482 *10 - 6

2 = F( x2 ) - y2 = 2.092711 - 2.105547 = - 0.012836

22 = 1.64763 * 10 - 4

3 = F( x3 ) - y3 = 2.109553 - 2.125049 = - 0.015496

32 = 2.40126 * 10 - 4

4 = F( x4 ) - y4 = 2.14626 - 2.157721 = - 0.011461

42 = 1.31355 * 10 - 4

5 = F( x5 ) - y5 = 2.202831 - 2.205613 = - 0.002782

52 = 7.73953 * 10 - 6

6 = F( x6 ) - y6 = 2.279266 - 2.271475 = 0.007791

62 = 6.06997 * 10 - 5

7 = F( x7 ) - y7 = 2.375567 - 2.359045 = 0.06522

72 = 2.72977 * 10 - 4

8 = F( x8 ) - y8 = 2.491732 - 2.473328 = 0.08404

82 = 3.38707 * 10 - 4

9 = F( x9 ) - y9 = 2.627762 - 2.620626 = 0.007136

92 = 5.09225 * 10 - 5

10 = F( x10 ) - y10 = 2.783656 - 2.807662 = - 0.024006

102 = 5.76288 * 10 -4


11

= 0.0021939515 = 1.9945013 * 10 - 4 = 0.014122681 1.412268 * 10 - 2


Данные расчётов снесены в Таблицу 2.


Таблица 2. Расчёт погрешности аппроксимации.

I

xi

yi

F(xi)

i

i2

0

0.7

2.1

2.118622

0.018622

3.46779 * 10 - 4

1

0.8

2.09763

2.095734

- 0.001896

3.59482 * 10 - 6

2

0.9

2.105547

2.092711

- 0.012836

1.64763 * 10 - 4

3

1.0

2.125049

2.109553

- 0.015496

2.40126 * 10 - 4

4

1.1

2.157721

2.14626

- 0.011461

1.31355 * 10 - 4

5

1.2

2.205613

2.202831

- 0.002782

7.73953 * 10 - 6

6

1.3

2.271475

2.279266

0.007791

6.06997 * 10 - 5

7

1.4

2.359045

2.375567

0.06522

2.72977 * 10 - 4

8

1.5

2.473328

2.491732

0.08404

3.38707 * 10 - 4

9

1.6

2.620626

2.627762

0.007136

5.09225 * 10 - 5

10

1.7

2.807662

2.783656

- 0.024006

5.76288 * 10 - 4




График погрешности аппроксимации представлен на рисунке 4.

График аппроксимирующей

функции представлен на рисунке 5.











6. ПОСТРОЕНИЕ БЛОК-СХЕМЫ И РАЗРАБОТКА ПРОГРАММЫ АППРОКСИМАЦИИ


Блок-схема алгоритма решения задачи аппроксимации методом наименьших квадратов представлена на Рис. 6.

Первым шагом осуществляется ввод значений X(I),Y(I),N.

Далее обнуляются значения всех коэффициентов. В цикле рассчитываются коэффициенты 3-х линейных уравнений. (см. п. 2.2). После цикла приравниваем одинаковые коэффициенты в матрице. Потом выполняется подпрограмма решения линейных уравнений.

Следующим шагом происходит описание функции пользователя:


FNY(X) = K(1) X 2 + K(2) X + K(3)


Следующий цикл находит значения аппроксимирующей функции, разность между этими значениями и корнями дифференциального уравнения Y(I), квадрат разности, а также производит их суммирование. Далее находится величина погрешности аппроксимации и все данные выводятся на экран.

Общая программа решения дифференциального уравнения с последующей аппроксимацией результатов представлена на рис. 7 вместе с программой решения дифференциального уравнения, так как из нее получают значения X(I) и Y(I).


Случайные файлы

Файл
136739.rtf
referat_Rus.doc
2.7.doc
128558.doc
Metod_kriterii.doc