Аппроксимация (44559)

Посмотреть архив целиком

-33-



Министерство общего и профессионального образования Российской Федерации




Московский Государственный Строительный Университет




Кафедра информатики и прикладной математики







КУРСОВАЯ РАБОТА ПО ИНФОРМАТИКЕ

на темы:

  1. Аппроксимация.

  2. Разработка модуля исключения нуль-уравнений в комплексе Решение задачи линейного программирования”.





Выполнил студент ЭОУС – I – 2: Моносов А. Л.

Преподаватель: доцент Марьямов А. Г.












Москва 1999.

Оглавление.


I. Математическая часть. Название………………………………3.

1.1 Постановка задачи………………………………………………….3.

2.1 Изложение метода………………………………………………….4.

3.1 Блок-схема алгоритма. Описание исходных данных и результатов………………………………………………………………5.

4.1 Листинг программы, исходных данных и результатов……………6.

5.1 Список переменных основной программы………………………10.

6.1 Заголовки процедур и функций. Список их переменных……….10.

7.1 Ручной расчет……………………………………………………..11.

8.1 Обсуждение результатов с целью доказательства правильности алгоритма и программы………………………………………………..12.

9.1 Выводы…………………………………………………………….13.

II. Экономическая часть. Название……………………………..14.

1.2 Постановка задачи линейного программирования и задание на разработку модуля……………………………………………………...14.

2.2 Описание исходных данных и результатов решения задач линейного программирования………………………………………...18.

3.2 Описание модуля типов…………………………………………..19.

4.2 Укрупненная блок-схема задачи линейного программирования..20.

5.2 Параметры и заголовки процедур задачи линейного программирования……………………………………………………..21.

6.2 Блок-схема и параметры реализованной процедуры……………21.

7.2 Листинг модуля, исходных данных и результатов машинного расчета………………………………………………………………….23.

8.2 Ручной расчет задачи линейного программирования…………...24.

9.2 Выводы…………………………………………………………….26.

Список использованной литературы. ……………………………..27.















  1. Математическая часть. Аппроксимация.


    1. Постановка задачи.

Пусть величина y является функцией аргумента x. Это означает, что любому значению x из области определения поставлено в соответствии значение y. Вместе с тем на практике часто неизвестна явная связь между y и x, т.е. невозможно записать эту связь в виде y=f(x). В некоторых случаях даже при известной зависимости y=f(x) она настолько громоздка (например, содержит трудно вычисляемые выражения, сложные интегралы и т.п.), что ее использование в практических расчетах затруднительно.

Наиболее распространенным и практически важным случаем, когда вид связи между параметрами x и y неизвестен, является задание этой связи в виде некоторой таблицы {xi yi}. Это означает, что дискретному множеству значений аргумента {xi} поставлено в соответствие множество значений функции {yi} (i=0,1…n). Эти значения - либо результаты расчетов, либо экспериментальные данные. На практике нам могут понадобиться значение величины y и в других точках, отличных от узлов xi. Однако получить эти значения можно лишь путем очень сложных расчетов или провидением дорогостоящих экспериментов.

Таким образом, с точки зрения экономии времени и средств мы приходим к необходимости использования имеющихся табличных данных для приближенного вычисления искомого параметра y при любом значении (из некоторой области) определяющего параметра x, поскольку точная связь y=f(x) неизвестна.

Этой цели и служит задача о приближение (аппроксимации) функций: данную функцию f(x) требуется приближенно заменить (аппроксимировать) некоторой функцией g(x) так, чтобы отклонение (в некотором смысле) g(x) от f(x) в заданной области было минимальным. Функция g(x) при этом называется аппроксимирующей.

Для практики весьма важен случай аппроксимации функции многочленом:


g(x)=a0+a1x+a2x2+…+amxm (2.1)


При этом коэффициенты aj будут подбираться так, чтобы достичь наименьшего отклонения многочлена от данной функции.

Если приближение строиться на заданном множестве точек {xi}, то аппроксимация называется точечной. К ней относятся интерполирование, среднеквадратичное приближение и др. При построении приближения на непрерывном множестве точек (например, на отрезке [a,b] аппроксимация называется непрерывной или интегральной).


2.1 Изложение метода (Точечная аппроксимация).

Одним из основных типов точечной аппроксимации является интерполирование. Оно состоит в следующем: для данной функции y=f(x) строим многочлен (2.1), принимающий в заданных точках xi те же значения yi, что и функция f(x), т.е. g(xi)=yi, i=0,1,…n.

При этом предполагается, что среди значений xi нет одинаковых, т.е. xixk при этом ik. Точки xi называются узлами интерполяции, а многочлен g(x) - интерполяционным многочленом.

Y









X


X0 X1 . . . Xn



Рис. 1


Таким образом, близость интерполяционного многочлена к заданной функции состоит в том, что их значения совпадают на заданной схеме точек (рис.1, сплошная линия).

Максимальная степень интерполяционного многочлена m=n; в этом случае говорят о глобальной интерполяции.

При большом количестве узлов интерполяции получается высокая степень многочлена (2.1) в случае глобальной интерполяции, т.е. когда нужно уметь один интерполяционный многочлен для всего интервала изменения аргумента. Кроме того, табличные данные могли быть получены путем измерений и содержать ошибки. Построение аппроксимируемого многочлена с условием обязательного прохождения его графика через эти экспериментальные точки означало бы тщательное повторение допущенных при измерениях ошибок. Выход из этого положения может быть найден выбором такого многочлена, график которого проходит близко от данных точек (рис.1, штриховая линия).

Одним из таких видов является среднеквадратичное приближение функции с помощью многочлена (2.1). При этом m n; случай m = n соответствует интерполяции. На практике стараются подобрать аппроксимирующий многочлен как можно меньшей степени (как правило, m=1, 2, 3).

Мерой отклонения многочлена g(x) от заданной функции f(x) на множестве точек (xi,yi) (i=0,1,…,n) при среднеквадратичном приближении является величина S, равная сумме квадратов разности между значениями многочлена и функции в данных точках:

n

S = [g(xi)-yi]2

i=0


Для построения аппроксимирующего многочлена нужно подобрать коэффициенты a0, a1,…,am так, чтобы величина S была наименьшей. В этом состоит метод наименьших квадратов.

n

dS/da1=2[ g(xi)-yi]2*1=0;

i=1

n

dS/da2=2[ g(xi)-yi]2*xi=0;

i=1

n

dS/dam+1=2[ g(xi)-yi]2*xim=0.

i=1


C A B

n

xi

xim


a1


yi

=

xi

xi2

xim+1


a2


yixi

……

……



xim

xim+1

xi2m


am+1


yixim



3.1 Блок-схема алгоритма. Описание исходных данных и результатов.




i=1


i=n

j=1





Расчет первой строки матрицы С и вектора В


i=1


i=n



i=1


i=n


j=m+1


i=1


j=1


j=m



Расчет остальных строк матрицы С


j=1



j=n


j=1

j=n



i=m






i=1



j=m+1


шаг=-1



j=1



i=n









Исходные данные, а именно:

m-число узлов аппроксимации.

n - степень аппроксимирующего многочлена.

X - вектор узлов аппроксимации.

Y - вектор значений аппроксимируемой функции.

Все эти значения мы заносим в файл jan.dat, который работает только на чтение и файловой переменной является f1.

Результаты:

Все результаты выводятся в файл jan.res, работающий на запись и имеющий файловую переменную f2.

Первоначально в этот файл выводятся исходные данные, которые берутся из файла jan.dat, но при этом уже с описанием, то есть не просто числа, а скоментарием, что они означают.

Затем выводятся результаты вычисления, проведенной машиной, при этом все результаты отформатированы:

Выводится матрица С системы линейных уравнений для аппроксимации вместе с вектором правых частей. Затем выводится решение этой системы уравнений, что является вектором коэффициентов аппроксимирующего многочлена по возрастанию степени. И в конце выводится вектор погрешности аппроксимации Z.



4.1 Листинг программы, исходных данных и результатов.


program approx;

uses crt,gausstpu;

const nm=20;

type vect1=array[1..nm] of real;

var c:matr;

a,b:vect;

x,y,z:vect1;

n,i,j,m:integer;

f1,f2:text;

procedure Create_BC(n,m:integer; var x,y:vect1; var c:matr; var b:vect);

var i,j:integer;

r:vect;

begin

for i:=1 to n do

r[i]:=1;

for j:=1 to m+1 do begin

c[1,j]:=0;

b[j]:=0;

for i:=1 to n do begin

c[1,j]:=c[1,j]+r[i];

b[j]:=b[j]+r[i]*y[i];

end;

for i:=1 to n do

r[i]:=r[i]*x[i];

end;

for i:=1 to m do begin

for j:=1 to m do

c[i+1,j]:=c[1,j+1];

c[i+1,m+1]:=0;

for j:=1 to n do

c[i+1,m+1]:=c[i+1,m+1]+r[j];

for j:=1 to n do

r[j]:=r[j]*x[j];

end;end;

begin

assign(f1,'jan.dat');reset(f1);

assign(f2,'jan.res');rewrite(f2);

readln(f1,n);writeln(f2,'Число узлов аппроксимации n=',n:3);

readln(f1,m);writeln(f2,'Степень многочлена m=',m:2);

writeln(f2,'Вектор узлов аппроксимации x[i]');

for i:=1 to n do begin

read(f1,x[i]);

write(f2,x[i]:4:2,' ');

end;

writeln(f2);

writeln(f2,'Вектор значений аппроксимируемой функции y[i]');

for i:=1 to n do begin

read(f1,y[i]);

write(f2,y[i]:4:2,' ');

end;

Create_BC(n,m,x,y,c,b);

writeln(f2);

writeln(f2,'Матрица системы линейных уравнений для аппроксимации и вектор правых частей);

for i:=1 to m+1 do begin

for j:=1 to m+1 do

write(f2,c[i,j]:8:1);writeln(f2,b[i]:8:1);end;

gauss(m+1,c,b,a);

for i:=1 to n do begin

z[i]:=0;

for j:=m+1 downto 1 do

z[i]:=z[i]*x[i]+a[j];

z[i]:=z[i]-y[i];end;

writeln(f2);

writeln(f2,'Вектор коэфициентов аппроксимирующего многочлена по возрастанию);

writeln(f2,'степени (m+1 элементов)');

for i:=1 to m+1 do

writeln(f2,'a[',i:1,']=',a[i]:6:2);

writeln(f2,'Вектор погрешности аппроксимации в узлах X);

for i:=1 to n do

writeln(f2,'z[',i:1,']=',z[i]:5:3);

close(f1);close(f2);

end.

Исходный файл jan.dat:


10

2

1 6 0 3 8 2 12 9 2 5

9 4 13 7 3 9 3 1 4 2


Файл результатов jan.res:


Число узлов аппроксимации n=10

Степень многочлена m=2

Вектор узлов аппроксимации x[i]

1.00 6.00 0.00 3.00 8.00 2.00 12.00 9.00 2.00 5.00

Вектор значений аппроксимируемой функции y[i]

9.00 4.00 13.00 7.00 3.00 9.00 3.00 1.00 4.00 2.00

Матрица системы линейных уравнений для аппроксимации и вектор правых частей

10.0 48.0 368.0 55.0

48.0 368.0 3354.0 159.0

368.0 3354.0 33428.0 1023.0

Вектор коэфициентов аппроксимирующего многочлена по возрастанию степени (m+1 элементов)

a[1]= 11.66

a[2]= -2.31

a[3]= 0.13

Вектор погрешности аппроксимации в узлах X

z[1]=0.479

z[2]=-1.381

z[3]=-1.343

z[4]=-1.070

z[5]=-1.247

z[6]=-1.430

z[7]=-0.244

z[8]=0.723

z[9]=3.570

z[10]=1.454


5.1 Список переменных основной программы.


В основной программе используются раздел констант и типов:


const nm=20;

type vect1=array[1..nm] of real;

Следующие переменные так же используются в программе, которые описываются в разделе var:


Переменная

Тип переменной

Описание переменной

С

matr

Матрица системы линейных уравнений для аппроксимации

А

vect

Вектор коэфициентов аппроксимирующего многочлена по возрастанию степени (m+1 элементов)

Х

vect1

Вектор узлов аппроксимации

B

vect

Вектор правых частей

Y

vect1

Вектор значений аппроксимирующей функции

Z

vect

Вектор погрешности аппроксимации в узлах Х

n

integer

Число узлов аппроксимации

m

integer

Степень многочлена

i

integer

Необходима для нумерации элементов массивов.

j

integer

Необходима для нумерации элементов массивов.

f1

text

Файловая переменная для файла исходных значений

f2

text

Файловая переменная резуртирующего файла

6.1 Заголовки процедур и функций. Список их переменных.


В своей программе я использовал следующие модули, которые описываются в операторе uses и процедуры:

Crt - стандартный модуль подключения экрана и клавиатуры для работы с программой.

Gauss - процедура решения системы линейных уравнений методом Гаусса. Она берется из модуля Gausstpu, где интерфейсная часть имеет вид:


Interface

Const nmax=20

Type

Поэтому при объявлении матрицы С ссылаться надо на matr, а векторов A и B на vect.

Create_BC - процедура расчета матрицы С (С - матрица системы линейных уравнений для аппроксимации). Заголовок этой процедуры выглядит так:


procedure Create_BC(n,m:integer; var x,y:vect1; var c:matr; var b:vect);

var i,j:integer;

r:vect;


А вот такие переменные используются только в этой процедуре, остальные засылаются из основной программы:


Переменная

Тип переменной

Описание переменной

i

integer

Используются в циклах для перебора численных значений

j

integer

Используются в циклах для перебора численных значений

R

vect

Рабочий вектор


7.1 Ручной счет.


Составляем матрицу системы уравнений по следующему принципу:


n

xi

xi2

yi

xi

xi2

xi3

xiyi

xi2

xi3

xi4

xi2yi


Для этого вычисляем необходимые значения:


n=10;

xi=1+6+0+3+8+2+12+9+2+5=48;

xi2=12+62+02+32+82+22+122+92+22+52=368;

yi=9+4+13+7+3+9+3+1+4+2=55;

xi3=13+63+03+33+83+23+123+93+23+53=3354;

xiyi=1*9+6*4+0*13+3*7+8*3+2*9+12*3+9*1+2*4+5*2=159;

xi3=14+64+04+34+84+24+124+94+24+54=33428;

xi2yi=12*9+62*4+02*13+32*7+82*3+22*9+122*3+92*1+22*4+52*2=1023.


Получается следующая матрица:


10

48

368

55

48

368

3354

159

368

3354

33428

1023


Которая эквивалентна такой системе уравнений:

{


10a1 + 48a2 + 368a3 = 55

48a1 + 368a2 + 3354a3 = 159

368a1 + 3354a2 + 33428a3 = 1023


Мы решаем эту систему уравнений методом Гаусса:


10

48

368

55

0

137,6

1587,6

-105

0

1587,6

19885,6

-1001


10

48

368

55

0

137,6

1587,6

-105

0

0

1568,203488

210.4680233


Получаем упрощенную систему уравнений:

{


1568,203488a3 = 210,4680233

137,6a2 + 1587,6a3 = -105

10a1 + 48a2 + 368a3 = 55


Решая которую получаем следующие окончательные значения, которые являются ответом:

{


a3=210,4680233/1568,203488=0,134209638

a2=(-105-1587,6 a3)/137,6=-2,311564115

a1=(55-48a2-368a3)/10=11,65659307



8.1 Обсуждение результатов с целью доказательства правильности алгоритма и программы.


Полученные результаты показывают, что алгоритм и программа составлены верно, так как значения полученные при ручном счете близки к машинным вычислением.


9.1 Выводы.


Данная программа очень эффективна, так как машина выполняет все действия гораздо быстрее, чем человек при ручном счете. Так же во время ручного счета могут произоити ошибки, что приведет к повторному перещитыванию, а у машины, при правильном алгоритме, таких сбоев не бывает (если только "зависает"). Следовательно эта программа во многом облегчает жизнь человеку.



























  1. Экономическая часть. Разработка модуля исключения нуль-уравнений в комплексе Решение задачи линейного программирования”.


1.2 Постановка задачи линейного программирования и задание на разработку модуля.

Рассмотрим задачу оптимального планирования производства [1]. Пусть предприятие выпускает n изделий, для производства которых используется m ингредиентов. Ингредиенты это – детали определенного сортамента, станки, работники, электроэнергия и т.д., иначе говоря, все что требуется для осуществления производственного цикла. Запасы ингредиентов задаются вектором b=(b1, b2,…, bm ), где bi - запас i-го ингридиента (i=1,…,m). Задана матрица А, элемент которой aij определяет расход i-го ингридиента для производства единицы j-го изделия (i=1,…,m; j=1,…,n). Кроме того, задан вектор рыночных цен изделий p=(p1, p2,…, pn), где p - цена j-го изделия (j=1,…,n).

Требуется составить такой план производства х=(х1, х2,…, хn), чтобы при выполнение условий


a11x1 + a12x2 + … + a1nxn b1

(1)

a21x1 + a22x2 + … + a2nxn b2

…………………………….…………………….

am1x1 + am2x2 + … + amnxn bm

xj 0, (j=1,…,n).


достигался максимум функции

(1')


Z= p1x1 + p2x2 + … + pnxn


Функция Z называется целевой.

i-е ограничение из (1) означает, что нельзя израсходовать i-го ингредиента больше, чем имеется в наличии. Ограничения (1) задают множество . Переменные, удовлетворяющие условию xj0, называются несвободными. В нашей задаче это означает, что при xj=0 - ничего не производится или при xj>0 производится некоторое количество изделий.

Переменные, на которые условия неотрицательности не накладываются, называются свободными.

Задача (1)-(1') и есть задача оптимального производственного планирования, решение которой обеспечивает достижение в конкретных условиях максимальной прибыли.

Сформулируем двойственную к (1)-(1') задачу о приобритении ингридиентов по минимальной рыночной стоимости. Пусть то же самое предприятие, что и в задаче (1)-(1'), собирается приобрести на рынке m ингридиентов для производства тех же n изделий. При этом количество приобретаемых ингридиентов определяется вектором b=(b1, b2, …, bm). Задана та же матрица А, элемент которой aij определяет расход i-го ингридиента для производства j-го изделия. Кроме того задан вектор цен p=(p1, p2, …, pn) на продукцию предприятия. Требуется отыскать вектор цен ингридиентов u=(u1, u2, …, um), где ui - цена единицы i-го ингридиента (i=1, …,m), чтобы выполнялись условия:


a11u1 + a21u2 + … + am1um p1

(2)

a12u1 + a22u2 + … + am2um p2

…………………………….…………………….

a1nu1 + a2nu2 + … + amnum pn

ui 0, (i=1,…,m)


при достижении минимума целевой функции

(2')


W=b1u1 + … + bmum


j-ое условие (2) означает, что стоимость всех ингридиентов, идущ на производство j-го изделия, не меньше рыночной цены этого изделия.

Условие несвободности uj0 означает, что j-й ингредиент либо бесплатен (uj=0), либо стоит положительное количество рублей (uj >0).

Опорным решением задачи (1)-(1') называется точка множества , в которой не менее чем n ограничений из (1) обращается в верное равенство. Это - так называемая, угловая точка множества. Для n=2 это - вершина плоского угла.

Опорным решением задачи (2)-(2') называется точка, в которой не менее чем m ограничений из (2) обращается в верное равенство.

В задаче (1)-(1') опорное решение - точка х=(0,…,0), начало координат. В задаче (2)-(2') начало координат - точка u=(0,…,0), опорным решением не является.

Опорное решение, доставляющее максимум функции (1') или минимум функции (2') называется оптимальным. В работе [1] показано, что оптимальное решение можно всегда искать среди опорных решений.

Среди линейных ограничений задачи (1)-(1') кроме неравенств могут быть и равенства. Тогда условимся писать эти равенства первыми. Если их количество равно k, то область запишется в виде:


a11x1 + a12x2 + … + a1nxn = b1

…………………………….………………………

(3)

ak1x1 + ak2x2 + … + aknxn = bk

ak+1, 1x1+ak+1, 2x2+…+ak+1, n xnbk+1

…………………………….………………………

am1x1 + am2x2 + … + amnxn bm

xj 0, (j=1,…,n)


Требуется найти максимум функции

(3')


Z=p1x1 + p2x2 + … + pnxn


В общем случае среди переменных xj могут быть свободные. Номера свободных переменных будем хранить в отдельном массиве.

При формировании двойственной задачи к задаче (3)-(3') i-му ограничению - равенству будет соответствовать свободная переменная ui (i=1,…,k), а свободной переменной xj ограничение - равенство:

a1j u1 + a2j u2 + … + amj um =pj

Введем вспомогательные переменные yi0 (i=1,…,n) и запишем ограничения (3) и функцию Z в виде:


0 = a11 (-x1) + a12 (-x2) + … + a1n (-xn) + a1, n+1

…………………………………………………….………………………………………

(4)

0 = ak1 (-x1) + ak2 (-x2) + … + akn (-xn) + ak, n+1

yk+1 = ak+1, 1 (-x1) + ak+1, 2(-x2)+ … + ak+1, n(-xn) + ak+1, n+1

…………………………………………………….………………………………………

ym = am1 (-x1) + am2 (-x2) + … + amn(-xn) + am, n+1

Z = am+1, 1 (-x1) + am+1, 2(-x2)+ … + am+1, n(-xn) + am+1, n+1


Условие несвободности отдельных или всех переменных здесь не отмечено. Обозначения:


ai, n+1 = bi (i=1, …, m),

am+1, j = -pj (j=1, …, n)

am+1, n+1 = 0.


Таким образом, матрицу а мы дополнили столбцом свободных членов и строкой коэффициентов целевой функции, изменив знаки этих коэффициентов на противоположные. Тогда задачу (4) можно представить в виде таблицы. 1:




Прямая задача Таблица 1


-x1

-x2


-xn

1

0 =

a11

a12

a1n

a1, n+1

……

……………………………

………

0 =

..

ak, n+1

yk+1 =

ak1

ak2

akn

ak+1, n+1

……

ak+1, 1

ak+1, 2

ak+1, n

………

ym =

……………………………

………


am1

am2

amn

am, n+1

Z =

am+1, n

am+1, 2

am+1, n

am+1, n+1


Номера свободных переменных запоминаются отдельно.

Совместим таблицу двойственной задачи с таблицей. 1 и получим таблицу. 2.


Прямая и двойственная задачи Таблица 2



v1 =

v2 =


vn =

W =



-x1

-x2


-xn

1

u1

0 =

a11

a12

a1n

a1, n+1


……

……………...………………

………

uk

0 =

ak1

ak2

akn

ak, n+1

uk+1

yk+1 =

ak+1, 1

ak+1, 2

ak+1, n

ak+1, n+1


……

……………………………

………

um

ym =

am1

am2

amn

am, n+1

1

Z =

am+1, n

am+1, 2

am+1, n

am+1, n+1


vj - вспомогательные переменные двойственной задачи.

Тогда j-е ограничение из таблицы имеет вид:


vj = a1j u1 + a2j u2 + … + amj um + am+1, j 0, если xj 0


Если переменная xj свободна, то ей соответствует ограничение-равенство двойственной задачи:


0=a1j u1 + a2j u2 + … + amj um + am+1, j


т.е. вместо vj фактически будет нуль.

Кроме того первые k переменных двойственной задачи свободны, а остальные несвободны.

Целевая функция двойственной задачи


W= a1, n+1 u1 + a2, n+1 u2 + … + am, n+1 um + am+1, n+1


Совмещение в одной таблице прямой и двойственной задачи неслучайно. Решая прямую задачу, мы получаем о дновременно решение двойственной задачи, причем


max Z = min W = am+1, n+1


Сделаем замену переменных в таблице 1 , перебросив вспомогательную переменную yr на верх таблицы со знаком минус, а основную пременную xs на бок таблицы (ars0). Это означает движение из вершины x=(0, …, 0) в другую вершину многогранника по его ребру. Элемент аrs называется разрешающим, строка r - разрешающей строкой, столбец s - разрешающим столбцом. Такая замена переменных носит название модифицированных жордановых исключений (МЖИ). Элементы матрицы а, не принадлежащие разрешающему столбцу или разрешающей строке, назовем рядовыми.


2.2 Описание исходных данных и результатов решения задачи линейного программирования.


Обсудим исходные данные (текстовой файл simp.dat) и результаты решения задачи линейного программирования (текстовой файл simp.res). В начале файла simp.dat расположены, так называемые, представительские данные - строковые данные, каждое из которых распологается в файле с новой строки:

1. Строка с номером варианта,

2. Строка с русским названием модуля,


Случайные файлы

Файл
1.doc
18263.rtf
117555.rtf
87960.doc
bib.doc