Стр. 5-18 Лекция 5. Математические модели многозвенных манипуляторов РТС. Автор: Котов Е.А.

Математические модели многозвенных манипуляторов РТС.

Специфика объекта исследования – наличие многозвенных исполнительных механизмов манипуляторов, предназначенных для перемещения одних элементов в требуемое перемещение других, и представляющих в общем случае совокупность твердых тел (звеньев), выполненных в виде разомкнутой цепи, один из концов которой крепится к подвижному или неподвижному основанию, а второй являемся свободным.

Звенья манипулятора образуют кинематические пары пятого класса, допускающие вращательные или телескопические (линейные) перемещения.

Именно многозвенность объекта и определяет его отличительные особенности с точки зрения математического моделирования:

  • практическая невозможность структурного представления полной динамической модели

  • сложность описания в пространстве состояния и разработки эффективных вычислительных алгоритмов (связанных в частности, с необходимостью обращения матриц).

  • необходимость учета динамики приводов, систем управления, влияния окружающей среды, специфики выполняемых технологических операций и т.д.

  • Эти и другие факторы требуют разработки специальных (удобных для инженерных исследований) математических моделей и вычислительных алгоритмов.

Задачи исследования, в частности, могут быть названы следующие:

  • Определение пространственного положения механизма; анализ конфигураций; анализ конфликтных ситуаций при совместной работе нескольких роботов, работе со вспомогательным оборудованием, манипулировании в условиях ограничения окружающей среды.

  • Формирование логических функций вида , определяющих состояние манипулятора, например,

y = 0- манипулятор в неработающем состоянии,

y = i- манипулятор в состоянии выполнения «i»-ой операции

  • Имитация движения механизма; определение скоростей, ускорений движения одних элементов в зависимости от скоростей и ускорений других элементов, например, для перемещения схвата.

  • Определение пропускной способности РКТ

  • Определение динамических характеристик переходных процессов: времени выполнения операции, экстремальных значений фазовых координат, величины перерегулирования и т.д.

Следует отметить, что в большинстве случаев эти задачи после решения дают ответ в форме «да-нет», только средства (модели) для этого используются различные.

Анализ приведенных выше задач позволяет выделить для дальнейшей разработки 3 основных форм моделей: логическая, кинематическая и динамическая, каждую из которых будем определять в функциональном виде:

Математическое описание пространственного положения многозвенных механизмов

Будем использовать следующие обозначения:

n- число звеньев,

i=1,2,…n – нумерация звеньев, начиная со стойки.

i=0 – стойка;

i=n – схват;

i=-1 – неподвижная система координат.

Будем также использовать известный подход описания пространственного положения с помощью специальных систем координат и параметров Денавита-Хартенберга.

В основе пространственного описания многозвенного механизма – алгоритм перехода из «i-1» системы в «i».

Обобщенные координаты. Голономные и неголономные связи

Обозначим через qi относительный угол поворота или относительное перемещение. Эта величина является обобщенной координатой и определяется следующим образом:

Обобщенные координаты механизма – независимые переменные, полностью определяющие его конфигурацию в пространстве. Строго говоря, обобщенными координатами могут быть не только qi, но и, например, декартовы координаты. Но выбор qi влияет множество факторов, например, близость qi к реальным физическим величинам, реализуемых системой управления.

В общем случае для описания движения манипулятора могут быть использованы l переменных, число которых не равно числу степеней свободы n. Значение n зависит от числа связей между точками звеньев. Эти связи могут быть голономными (позиционными, геометрическими) и неголономными (скоростными).

Голономные связи определяют зависимости между координатами точек тел системы и записываются в виде:

Уравнение связи могут быть стационарными и нестационарными, соответственно без и с .

Неголономные связи определяют зависимости между скоростями точек тел системы, не сводящиеся (путем интегрирования) к зависимостям между координатами этих точек, т.е. к голономным связям. Уравнения неголономных связей имеют вид:

если в матричном виде:

число степеней свободы определяется:

Таким образом, с помощью обобщенных координат q1, q2qn и матриц Li, Ti определяется пространственное положение механизма, что равносильно статическому или геометрическому моделированию. С помощью моделей этого класса определяются зоны обслуживания (зоны сервиса), решаются задачи обхода препятствий.

Кинематическая модель

Будут использованы следующие известные соотношения:

(вращение по оси z, )

Как уже отмечалось, основная задача, которую решает кинематическая модель – определение скоростей, ускорений движения последнего звена (схвата) в зависимости от скоростей, ускорений движения предыдущих звеньев. Кинематическое моделирование- моделирование движения без учета факторов, его вызвавших (только следствие). это одна их форм имитационного моделирования.

Для разомкнутого многозвенного механизма существенным является рекуррентный характер изменения скоростей и ускорений движения звеньев. Для получения этих зависимостей будем использовать следующие обозначения.






, причем угловые скорости () измеряются в связанной системе координат, а линейные – в неподвижной (-1).

- вектор ускорений «i»-го звена

Продифференцируем дважды первое уравнение и с учетом матриц ориентации будем иметь:

(1)

Таким образом, (2)

Можно получить уравнение (2) проще:

Продифференцируем дважды второе уравнение:

(3)

(4)

Уравнения (1), (2) и (3), (4) могут быть записаны соответственно в виде:

(5)